[论文解读] Space of Kähler metrics III--On the lower bound of the Calabi energy and geodesic distance

Xiaojuan Chen|ArXiv.org|Jun 9, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用 17

一句话总结

本文在任意凯勒类中建立了卡比能量的统一下界，证明了在有界里奇曲率与直径条件下凯勒能量泛函的正则性，并通过齐次复蒙日-安培方程的 $C^{1,1}$ 估计，发展了凯勒势空间中测地射线的框架。主要贡献在于证明了关于卡比能量下确界的 folklore 猜想，其应用包括凯勒度量的收敛性与极小度量的唯一性。

ABSTRACT

In this paper, we first prove a folklore conjecture on a greatest lower bound of the Calabi energy in all Kähler manifold. Similar result in algebriac setting was obtained by S. K. Donaldson. Secondly, we give an upper/lower bound estimate of the K energy in terms of the geodesic distance and the Calabi energy. This is used to prove a theorem on convergence of Kähler metrics in holomorphic coordinates, with uniform bound on the Ricci curvature and the diameter. Thirdly, we set up a framework for the existence of geodesic rays when an asymptotic direction is given. I

研究动机与目标

• 证明任意凯勒类中卡比能量下确界的 folklore 猜想。
• 在测地距离与卡比能量的表达下，建立凯勒能量的上下界。
• 在有界环境几何条件下，为具有指定渐近方向的测地射线的存在性建立框架。
• 将凯勒势空间中测地线的正则性理论拓展至 $C^{1,1}$ 以上，特别是在无界区域中。
• 通过凯勒能量的正则性与稳定性，为证明姚-田-唐纳森猜想奠定基础。

提出的方法

• 利用无界区域中齐次复蒙日-安培（HCMA）方程的 $C^{1,1}$ 估计，控制测地射线。
• 应用莫泽迭代与庞加莱不等式，在里奇曲率与直径有界条件下，推导出凯勒势的 $L^\infty$ 估计。
• 利用凯勒能量泛函及其一阶变分，通过积分估计将测地距离与卡比能量关联。
• 通过以有界环境几何控制测地射线，引入测地射线的新框架，实现相对 $C^{1,1}$ 估计。
• 利用 $\log(\omega_\varphi^n / \omega^n)$ 的体积形式控制与 $u = \exp(-\lambda\varphi)(n + \triangle\varphi)$ 的最大值原理，控制曲率量。
• 应用姚从卡拉比猜想中发展出的方法，证明在有界 $\triangle F$ 与 $\varphi$ 条件下，凯勒度量的统一等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意凯勒类中，卡比能量是否存在与度量选择无关的统一正下界？
• RQ2 在统一里奇曲率与直径有界条件下，凯勒能量泛函是否能以测地距离与卡比能量为变量有下界？
• RQ3 在何种条件下，凯勒势空间中存在具有指定渐近方向的测地射线？
• RQ4 能否通过 HCMA 方程将 $C^{1,1}$ 正则性估计扩展至无界区域中的测地射线？
• RQ5 凯勒能量泛函的正则性是否意味着度量及其曲率的统一 $C^{1,\alpha}$ 有界性？

主要发现

• 卡比能量被一个仅依赖于凯勒类的正数下界控制，证实了长期存在的 folklore 猜想。
• 在统一里奇曲率与直径有界条件下，凯勒能量是正则的，意味着 $J(\varphi) \leq C$ 与 $\int_M |\varphi| \omega^n \leq C$，从而导出势函数的统一 $L^\infty$ 有界性。
• $\varphi$ 的 $L^\infty$ 有界性与 $\log(\omega_\varphi^n / \omega^n)$ 的控制，意味着 $\omega_\varphi$ 与背景度量 $\omega$ 的统一等价性。
• 由于 $\triangle F$ 与 $\varphi$ 的统一有界性，度量 $\omega_\varphi$ 对任意 $\alpha \in (0,1)$ 均为统一 $C^{1,\alpha}$ 有界。
• 无界区域中 HCMA 方程的 $C^{1,1}$ 估计，使得在有界环境几何下可构造具有受控正则性的测地射线。
• 该框架支持相同渐近方向下测地射线的相对 $C^{1,1}$ 估计，从而支持凯勒势空间中此类射线的存在性。