[论文解读] Space of Ricci flows (II)

Xiuxiong Chen, Wang Bing|arXiv (Cornell University)|May 27, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 80被引用 56

一句话总结

本文在几何有界条件下建立了法诺流形上极化凯勒里奇流的结构理论，推广了非坍缩凯勒-爱因斯坦流形的理论。通过引入极化典范半径的概念，并证明具有奇点的卡拉比-丘模型空间模空间的紧致性，作者解决了所有维度下反典范凯勒-里奇流的哈密顿-田猜想和田的部分-$C^0$猜想。

ABSTRACT

Based on the compactness of the moduli of non-collapsed Calabi-Yau spaces with mild singularities, we set up a structure theory for polarized Kähler Ricci flows with proper geometric bounds. Our theory is a generalization of the structure theory of non-collapsed Kähler Einstein manifolds. As applications, we prove the Hamilton-Tian conjecture and the partial-$C^0$-conjecture of Tian.

研究动机与目标

• 发展具有几何有界的极化凯勒里奇流的结构理论，推广非坍缩凯勒-爱因斯坦流形的理论。
• 通过利用凯勒几何的额外结构，克服先前工作中对半维曲率积分有界的限制。
• 利用具有奇点的卡拉比-丘空间作为模型空间，建立反典范凯勒-里奇流的典范邻域定理。
• 在所有复维度下证明法诺流形上凯勒-里奇流的哈密顿-田猜想与田的部分-$C^0$猜想。
• 引入并分析极化典范半径的概念，作为控制长时间流行为的关键几何不变量。

提出的方法

• 引入具有轻微奇点的非坍缩奇异卡拉比-丘空间的模空间，记为 $\widetilde{\mathscr{KS}}(n,\kappa)$，作为里奇流极限的模型空间。
• 在 pointed-Cheeger-Gromov 拓扑下证明 $\widetilde{\mathscr{KS}}(n,\kappa)$ 的紧致性，从而实现对里奇流极限的分析。
• 定义极化典范半径为控制曲率与体积增长的几何量，推广典范半径的概念。
• 利用佩雷尔曼的约化距离与热流技术，通过索博列夫与庞加莱不等式推导时空中的距离与体积估计。
• 应用极化凯勒-里奇流的长时间伪局部定理，控制在有界极化典范半径下的曲率与度量行为。
• 通过约化测地线与扰动技术建立直接距离估计，表明在小时间位移下距离几乎保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设有界半维曲率积分的条件下，为法诺流形上的凯勒-里奇流建立结构理论？
• RQ2 在 pointed-Cheeger-Gromov 拓扑下，非坍缩奇异卡拉比-丘空间的模空间是否具有紧致性？
• RQ3 能否利用具有奇点的卡拉比-丘模型空间，将典范邻域定理推广至反典范凯勒-里奇流？
• RQ4 极化典范半径是否是控制凯勒-里奇流长时间行为的充分几何不变量？
• RQ5 能否在所有复维度下解决凯勒-里奇流的哈密顿-田猜想与田的部分-$C^0$猜想？

主要发现

• 在 pointed-Cheeger-Gromov 拓扑下，具有轻微奇点的非坍缩奇异卡拉比-丘空间的模空间 $\widetilde{\mathscr{KS}}(n,\kappa)$ 是紧致的。
• 极化典范半径控制凯勒-里奇流的长时间行为，其下确界可推出改进的曲率与体积估计。
• 对于反典范凯勒-里奇流，典范邻域定理成立，其中高曲率区域被建模为奇异卡拉比-丘空间。
• 在所有复维度下，法诺流形上凯勒-里奇流的哈密顿-田猜想已得证，表明流收敛于具有轻微奇点的极限空间。
• 田的部分-$C^0$猜想已解决，确立了流下极限度量的 $C^0$-正则性。
• 通过约化测地线的距离估计表明，对小的 $\delta$，有 $d^2(\bar{y},\bar{z}) \geq |\alpha|^2 - C\delta^{1/4}$，从而控制了小时间位移下的度量畸变。