[论文解读] Space Quasi-Periodic Standing Waves for Nonlinear Schrödinger Equations

W.-M. Wang|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2018

Nonlinear Photonic Systems参考文献 16被引用 3

一句话总结

该论文通过KAM型迭代方案，证明了在$¹\mathbb{R}^d$中非线性薛定谔方程存在空间准周期驻波解。对于从小振幅解在广义特征函数上分岔的解，证明了在频率参数$µ\lambda$的正测度集合上存在此类解，非线性频率被修正为$\mathcal{O}(|a|^{2p})$，解本身则被扰动为$\mathcal{O}(|a|^p)$，该结果在任意维度下成立。

ABSTRACT

We construct space quasi-periodic standing wave solutions to the nonlinear Schrödinger equations on R^d for arbitrary d. This is a type of quasi-periodic nonlinear Bloch-Floquet waves.

研究动机与目标

• 构造非线性薛定谔方程（NLS）在$\\mathbb{R}^d$中的全局、非衰减、空间准周期解，且无底层平移对称性。
• 将此类解的存在性扩展至周期或局域化设定之外，特别是在非紧致的$\mathbb{R}^d$设定中。
• 证明每个小振幅偶广义特征函数在适当频率参数$\lambda_k$条件下，均会分岔为非线性方程的解。
• 通过KAM型迭代方案，严格构造可接受$\lambda$参数的测度理论集合，得到在空间上准周期、在时间上周期的解。

提出的方法

• 使用KAM型迭代方案求解由NLS驻波假设$U(t,x) = e^{-iEt}u(x)$导出的静态非线性椭圆方程$-\Delta u - |u|^{2p}u = Eu$。
• 采用牛顿型迭代，将解构造为$x_k$的准周期余弦级数，频率满足$\lambda_k \in (1/2, 3/2)^2$且$j_k \in \mathbb{Z}^2$，通过迪奥ophantine型条件确保非共振。
• 在参数空间中应用一系列嵌套的康托尔型集合$\Lambda_r$，其测度估计为$\text{meas }\Lambda \geq 1 - |a|^{p/6}$（当$|a|$较小时），以保证迭代收敛。
• 对有限体积算子$T_M$实施预解估计和逆算子有界性估计，利用逆核的指数衰减估计来控制非线性项。
• 对线性化算子的逆实施逐点衰减估计，通过在每一步调整参数$\alpha$和$\delta$，以在扰动下保持控制。
• 应用一种自举论证，以验证解序列在迭代每一步均满足所需的衰减、正则性和导数有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$\mathbb{R}^d$中，非线性薛定谔方程是否可能存在无空间衰减或周期性的空间准周期驻波解？
• RQ2 每个小振幅偶广义特征函数是否在频率参数$\lambda$的正测度集合上，均会分岔为非线性方程的解？
• RQ3 能否将KAM型迭代方法适配于非紧致$\mathbb{R}^d$设定中，以构造此类解，尽管标准紧致性或周期性假设不成立？
• RQ4 此类解存在的频率参数$\lambda$的集合的测度是多少，其如何依赖于振幅$a$？
• RQ5 非线性频率$E$如何依赖于$\lambda$，其是否光滑？

主要发现

• 对于每个形如$\tilde{U} = a e^{-i(\tilde{j} \cdot \lambda)^2 t} \prod_{k=1}^d \cos(\tilde{j}_k \cdot \lambda_k x_k)$的小振幅线性解，均存在一个从其分岔而来的非线性解$U$，其具有相同的空间准周期结构。
• 解$U(t,x)$的形式为$e^{-i[(\tilde{j} \cdot \lambda)^2 + \mathcal{O}(|a|^{2p})]t} \left[ a \prod_{k=1}^d \cos(\tilde{j}_k \cdot \lambda_k x_k) + \mathcal{O}(|a|^p) \right]$，表明振幅和频率存在微小修正。
• 可接受的$\lambda$参数集合$\Lambda$满足测度估计$\text{meas }\Lambda \geq 1 - |a|^{p/6}$，当$|a|$较小时为正测度，且为正测度的康托尔型集合。
• 非线性特征值$E$在$(1/2, 3/2)^{2d}$上关于$\lambda$是$C^1$的，表明其对频率参数具有光滑依赖性。
• 该构造在任意维度$d$下有效，且方法可推广至更高维$\lambda_k$，证明结构保持不变。
• 解在时间上是周期的（具有一个基本频率），在空间上是准周期的，且全局时间定义，无局域化或底层平移对称性。