[论文解读] Space-time approximation of stochastic $p$-Laplace systems

Dominic Breit, Martina Hofmanová+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 36被引用 6

一句话总结

本文提出了一种用于随机 $p$-拉普拉斯系统的时空有限元方法，通过引入随机时间网格来克服时间正则性不足的问题。在自然正则性假设下，该方法在空间上实现线性收敛，在时间上实现阶数 $\alpha \in (0,\frac{1}{2})$ 的收敛性，数值实验验证了经过偏差校正的收敛率。

ABSTRACT

We consider systems of stochastic evolutionary equations of the $p$-Laplace type. We establish convergence rates for a finite-element based space-time approximation, where the error is measured in a suitable quasi-norm. Under natural regularity assumptions on the solution, our main result provides linear convergence in space and convergence of order $α$ in time for all $α\in(0,\frac{1}{2})$. The key ingredient of our analysis is a random time-grid, which allows us to compensate for the lack of time regularity. Our theoretical results are confirmed by numerical experiments.

研究动机与目标

• 开发一种用于随机 $p$-拉普拉斯型系统的时空有限元逼近方法，以在准范数下控制误差。
• 通过引入随机时间网格策略，解决随机 $p$-拉普拉斯系统中时间正则性不足的挑战。
• 在解的正则性假设最小化的前提下，建立时空逼近的收敛速率。
• 通过带有偏差校正的数值实验验证理论结果。

提出的方法

• 采用随机 $p$-拉普拉斯系统的变分形式，构建时空有限元方法。
• 误差在包含非线性变换 $\mathbf{F}(\boldsymbol{\xi}) = (\kappa + |\boldsymbol{\xi}|)^{\frac{p-2}{2}}\boldsymbol{\xi}$ 的准范数中测量，该变换线性化了误差结构。
• 引入随机时间网格以补偿解的时间正则性不足，从而实现更优的时间收敛性分析。
• 收敛性分析依赖于 $\mathbf{F}(\nabla \mathbf{u})$ 和 $\partial_t \mathbf{u}$ 的正则性假设，包括 $\mathbf{F}(\nabla \mathbf{u}) \in L^2(0,T;W^{1,2})$ 和 $\partial_t \mathbf{u} \in L^\infty(0,T;L^2)$。
• 通过数值实验验证理论收敛速率，采用偏差校正回归估计真实收敛阶数。
• 应用偏差校正技术于基于回归的收敛速率估计中，利用从渐近分析中导出的功能形式偏差因子 $\beta_{\tau,\tilde{\tau}}(a)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在最小正则性假设下，随机 $p$-拉普拉斯系统时空有限元逼近可实现何种收敛速率？
• RQ2 在收敛性分析中，如何补偿解的时间正则性不足？
• RQ3 使用随机时间网格对时空有限元格式的收敛行为有何影响？
• RQ4 在存在随机噪声和离散采样时，如何可靠地估计并校正数值收敛速率的偏差？
• RQ5 数值实验在多大程度上证实了分析所预测的理论收敛速率？

主要发现

• 在标准正则性假设下，该方法在空间上实现线性收敛，在时间上实现 $\alpha \in (0,\frac{1}{2})$ 阶收敛。
• 数值实验确认了理论时间收敛速率，偏差校正估计值为 $\alpha \approx 0.44 \pm 0.07$，与理论边界一致。
• 随机时间网格策略有效缓解了低时间正则性的影响，使得在缺乏光滑性的情况下仍能推导出收敛速率。
• 数值实验显示，对数-对数回归估计的收敛速率为 $\tilde{a} \approx 1.3 \pm 0.1$，该值因使用 $g(\tau) - g(\tilde{\tau})$ 而非 $g(\tau) - g(0)$ 而出现向上偏差。
• 偏差校正过程恢复了物理上有意义的收敛阶数 $a \approx 0.88 \pm 0.14$，对应 $\alpha \approx 0.44 \pm 0.07$，与理论结果一致。
• 分析表明，基于 $\mathbf{F}(\nabla \mathbf{u})$ 的准范数是量化非线性随机 $p$-拉普拉斯系统中误差的合适度量。