[论文解读] Space-time Averages of Classical Physical Fields

Roustam Zalaletdinov|ArXiv.org|Oct 29, 2004

Geophysics and Gravity Measurements参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文提出了一种在广义相对论中对经典物理场进行协变时空平均的程序，采用平行传输平均双矢量算子，证明这种平均会导致平均时空中的非黎曼几何。该方法与宏观引力平均方法进行了比较，表明两者均保持非黎曼结构，但在微分和代数性质上存在差异，其中宏观引力方案在局部性和与协变导数的可交换性方面表现更优。

ABSTRACT

A review on the main results concerning the algebraic and differential properties of the averaging and coordination operators and the properties of the space-time averages of macroscopic gravity is given. The algebraic and differential properties of the covariant space-time averaging procedure by means of using the parallel transportation averaging bivector operator are analyzed. The structure of the pseudo-Riemannian space-time manifolds of general relativity averaged by means of this procedure is discussed. A comparison of both procedures is given and the directions of further development of space-time averaging procedures of the physical classical fields are outlined.

研究动机与目标

• 开发一种与广义相对论的伪黎曼结构相容的协变时空平均程序。
• 分析曲率时空中平均算子与协调算子的代数和微分性质。
• 比较宏观引力的时空平均方案与平行传输双矢量算子方法。
• 研究对伪黎曼流形进行平均后的几何与物理后果，特别是非黎曼结构的出现。
• 为基于平均场的物理上有意义的时空测量和宇宙学建模奠定基础。

提出的方法

• 在具有体积形式的可微流形上，利用平行传输平均双矢量算子，制定一种协变时空平均程序。
• 将该平均程序应用于张量场和几何对象，确保与度量和仿射联络的相容性。
• 定义适当的坐标系，使平均算子的形式得以简化，类似于闵氏空间中的笛卡尔坐标。
• 分析平均算子的代数结构及其与协变导数的对易性。
• 在所提出的形式体系下，证明平均值的唯一性。
• 研究平均场的微分性质，以及协调双矢量在平均过程中的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在任意可微流形上，无需预先给定度量或联络，完全协变地表述时空平均？
• RQ2 宏观引力方案与平行传输双矢量方法在平均程序的微分和代数性质上存在哪些差异？
• RQ3 当原始时空为伪黎曼时空时，平均后的时空中会涌现出何种几何结构？
• RQ4 在何种条件下，平均程序能与协变微分运算对易？
• RQ5 在广义相对论中，非黎曼平均几何的物理与宇宙学含义是什么？

主要发现

• 使用平行传输双矢量算子的协变时空平均程序，即使原始流形为伪黎曼流形，也会导致平均时空中的非黎曼几何。
• 宏观引力平均方案确保平均场为局部的、单值函数，其依赖于平均体积作为参数，并且与协变导数可交换。
• 除非对黎曼曲率张量施加强限制，否则平行传输双矢量方法通常不满足局部性或与协变导数的可交换性。
• 两种平均方案——宏观引力与平行传输双矢量方法——均导致非黎曼平均几何，表明在平均过程中伪黎曼结构的根本性破坏。
• 在任意具有体积形式的n维可微流形上，已建立平均算子与协调算子的存在性定理。
• 平均时空几何的结构取决于对称二阶张量 $ g_{\alpha\beta} $ 的Segre代数类型，该类型不同于平均爱因斯坦张量 $ G_{\alpha\beta} $，证实了原始黎曼结构未被保持。