[论文解读] Space-time discontinuous Galerkin approximation of acoustic waves with point singularities

Pratyuksh Bansal, Andrea Moiola+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 45被引用 24

一句话总结

本文提出了一种用于二维多边形域中由于角点或多材料界面导致点奇异性时线性声波方程的时空不连续伽辽金（DG）方法。通过采用局部空间网格加密，建立了最优收敛率。此外，提出了一种新型稀疏张量时空DG格式，在奇异性存在的情况下，其计算工作量仅相当于在最细网格上求解一个椭圆问题，同时保持最优收敛率。

ABSTRACT

We develop a convergence theory of space-time discretizations for the linear, 2nd-order wave equation in polygonal domains $\Omega\subset\mathbb{R}^2$, possibly occupied by piecewise homogeneous media with different propagation speeds. Building on an unconditionally stable space-time DG formulation developed in [Moiola, Perugia 2018], we (a) prove optimal convergence rates for the space-time scheme with local isotropic corner mesh refinement on the spatial domain, and (b) demonstrate numerically optimal convergence rates of a suitable \emph{sparse} space-time version of the DG scheme. The latter scheme is based on the so-called \emph{combination formula}, in conjunction with a family of anisotropic space-time DG-discretizations. It results in optimal-order convergent schemes, also in domains with corners, with a number of degrees of freedom that scales essentially like the DG solution of one stationary elliptic problem in $\Omega$ on the finest spatial grid. Numerical experiments for both smooth and singular solutions support convergence rate optimality on spatially refined meshes of the full and sparse space-time DG schemes.

研究动机与目标

• 解决多边形域中点奇异性波方程的最优收敛性挑战。
• 开发一种在任意时间与空间步长下均稳定的时空DG弱形式，即使在局部网格加密时亦然。
• 设计一种稀疏张量时空DG格式，保持最优收敛率的同时显著减少自由度数量。
• 在具有锥形奇异性的解的条件下，建立在角点加权Sobolev空间中的收敛率边界。
• 在奇异性与光滑区域下，数值验证全格式与稀疏格式的时空DG方法均达到最优收敛率。

提出的方法

• 采用先前工作[32]中提出的无条件稳定的时空DG变分格式，用于二阶波方程。
• 在空间角点和多材料界面处应用局部各向同性网格加密，以解析点奇异性。
• 使用Kondrat’ev型的角点加权Sobolev空间来建模非光滑区域中解的正则性。
• 基于组合公式，提出一种基于不同时间与空间步长的多个DG解的稀疏张量时空DG格式。
• 采用各向异性的时空DG离散化方法，结合带加密的网格，以在奇异性附近平衡空间与时间分辨率。
• 利用无条件稳定性，使组合公式中可允许违反CFL条件的时间与空间步长组合。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维多边形域中存在点奇异性时，能否实现时空DG格式的最优收敛率？
• RQ2 在角点或界面处采用局部空间网格加密，是否能恢复因解正则性降低而受损的最优收敛率？
• RQ3 与全张量版本相比，稀疏张量时空DG格式能否在显著减少自由度数量的同时实现最优收敛率？
• RQ4 当组合公式应用于具有不同时间与空间步长的时空DG格式时，其性能如何，尤其是在存在奇异性的情况下？
• RQ5 稀疏时空DG格式的渐近工作复杂度与在最细网格上求解单个椭圆问题相比如何？

主要发现

• 证明了在向角点处采用局部各向同性网格加密的全张量时空DG格式，其最优收敛率为 $ O(h^p) $。
• 稀疏张量时空DG格式实现了最优收敛阶 $ O(M_L^{-p}) $，其中 $ M_L $ 为自由度数量，且其计算工作量仅相当于在最细空间网格上求解一个椭圆问题。
• 数值实验验证了在光滑与奇异解情况下，两种格式（全与稀疏）均达到最优收敛率，且在相对误差低于1%时，稀疏格式在误差-自由度比方面表现更优。
• 组合公式即使在时间与空间步长违反CFL条件时，仍能实现最优收敛率，这得益于底层DG格式的无条件稳定性。
• 当多项式阶 $ p = 2 $ 时，稀疏格式的收敛率为 $ O(M_L^{-1.5}) $，而全张量格式为 $ O(M_L^{-1}) $，表明其具有更高的计算效率。
• 该方法可推广至分段均匀介质，并在系数为分段常数时可精确计算单元贡献。