[论文解读] Space-time distributions

Mihaela Time|ArXiv.org|Oct 18, 1998

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于4维时空流形M的叶状结构（foliation）的空间-时间分布框架，将M分解为类空3-曲面，利用由精确类时1-形式dt定义的稳定因果性条件。分解TM = Sigma ⊕ T⁰M使得能够将基空间N中的曲线提升至M中的非类空曲线，且该构造确保M是全局双曲的，覆盖初始类空曲面S的依赖域D⁺(S)。

ABSTRACT

The space-time foliation Sigma compatible with the gravitational field g on a 4-manifold M determines a fibration pi of M, pi : M -> N is a surjective submersion over the 1-dimensional leaves space N. M is then written as a disjoint union of the leaves of Sigma, which are 3-dimensional spacelike surfaces on M. The decomposition, TM=Sigma + T^0 M, also implies that we can define a lift of the curves on N to curves (non-spacelike) on M. The stable causality condition M coincides with Sigma being a causal space-time distribution, generated by an exact timelike 1-form omega^0 = dt where t is some real function on M. In this case M is written as a disjoint union of a family of spacelike 3-surfaces of constant t, which cover D^+(S) of a initial 3-surface S of M.

研究动机与目标

• 建立基于时空纤维化为类空3-曲面的时空分布几何框架。
• 分析时空在何种条件下可通过全局定义的类时1-形式实现稳定因果性结构。
• 表征切丛TM分解为空间分量与时间分量（Sigma ⊕ T⁰M）的特性。
• 证明常t叶状曲面的叶状结构可覆盖初始类空3-曲面S的依赖域D⁺(S)。
• 将此类叶状结构的存在性与时空流形M的全局双曲性联系起来。

提出的方法

• 定义一个满射子mersor π: M → N，其中N为由实函数t参数化的1维基空间。
• 构造一个时空叶状结构Sigma，使得每个叶均为类空3-曲面，且M是这些叶的不相交并集。
• 利用稳定因果性条件，确保在M上存在一个精确类时1-形式ω⁰ = dt。
• 将切丛分解为TM = Sigma ⊕ T⁰M，其中Sigma为空间分布，T⁰M为时间方向。
• 通过叶状结构所定义的联络诱导的水平提升，将基空间N中的曲线提升为M中的非类空曲线。
• 通过要求叶状结构覆盖初始类空3-曲面S的整个依赖域D⁺(S)，确保全局双曲性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何条件下，4维时空流形M可被叶状分解为类空3-曲面？
• RQ2 精确类时1-形式dt的存在性如何影响时空的因果结构？
• RQ3 分解TM = Sigma ⊕ T⁰M在定义M上一致时间演化过程中起什么作用？
• RQ4 叶状结构如何确保依赖域D⁺(S)被完全覆盖？
• RQ5 稳定因果性条件在此框架中以何种方式保证全局双曲性？

主要发现

• 当且仅当满足稳定因果性条件时，时空M才允许全局叶状分解为类空3-曲面。
• 全局定义的精确类时1-形式ω⁰ = dt的存在性确保M被分解为常t类空超曲面的不相交并集。
• 切丛分解TM = Sigma ⊕ T⁰M使得能够将基空间N中的曲线良好地提升为M中的非类空曲线。
• 叶状结构意味着初始类空3-曲面S的依赖域D⁺(S)被叶的全体完全覆盖。
• 该构造通过存在一个具有类时梯度的光滑时间函数t，实现了全局双曲性的几何实现。
• 该框架为经典引力理论中的正则形式及广义相对论中的初值问题提供了严格的微分几何基础。