[论文解读] Space-time fluctuation of the Kardar-Parisi-Zhang equation in $d\geq 3$ and the Gaussian free field

Francis Comets, Clément Cosco+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 29被引用 11

一句话总结

该论文研究了在小无序强度 $\beta$ 下，三维及以上维度 $d \geq 3$ 的Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) 方程在时空上的涨落行为。研究证明，在适当的缩放下，解围绕其稳态解的涨落，在有限维分布下收敛于由确定性热方程演化而成的高斯自由场，揭示了高维情形下的普遍标度行为。

ABSTRACT

We study the solution $h_\varepsilon$ of the Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) equation for $d \geq 3$: $$ \frac{\partial}{\partial t} h_{\varepsilon} = \frac12 Δh_{\varepsilon} + \bigg[\frac12 | abla h_\varepsilon |^2 - C_\varepsilon\bigg]+ β\varepsilon^{\frac{d-2}2} ξ_{\varepsilon} $$ with $h_\varepsilon(0,x)=0$. Here $ξ_\varepsilon=ξ\star ϕ_\varepsilon$ is a spatially smoothened (at scale $\varepsilon$) Gaussian space-time white noise and $C_\varepsilon$ is a divergent constant as $\varepsilon o 0$. When the disorder $β$ is sufficiently small and $\varepsilon o 0$, $h_\varepsilon(t,x)- \mathfrak h^{\mathrm{st}}_{\varepsilon}(t,x) o 0$ in probability where $\mathfrak h^{\mathrm{st}}_{\varepsilon}(t,x)$ is the {\emph stationary solution} of the KPZ equation - more precisely, $\mathfrak h^{\mathrm{st}}_{\varepsilon}$solves the above equation with a random initial condition (that is independent of the driving noise $ξ$) and its law is constant in $(\varepsilon,t,x)$. In the present article we quantify the rate of the above convergence in this regime and show that the fluctuation {\emph about} the stationary solution $$ (\varepsilon^{1-\frac d2} [h_\varepsilon(t,x) - \mathfrak h^{\mathrm{st}}_{\varepsilon}(t,x)])_{x,t} $$ converges pointwise (with finite dimensional distributions in space and time) to a Gaussian free field (GFF) evolved by the deterministic heat equation. We also identify the fluctuations {\it of} the stationary solution itself and show that the rescaled averages $\int_{\mathbb R^d} {\mathrm d} x φ(x) \varepsilon^{1-\frac d2} [\mathfrak h^{\mathrm{st}}_{\varepsilon}(t,x)- \mathbb E(\mathfrak h^{\mathrm{st}}_{\varepsilon}(t,x))]$ converge to that of the {\emph stationary solution} of the stochastic heat equation with additive noise, but with (random) {\emph GFF marginals} (instead of flat initial condition).

研究动机与目标

• 理解在空间维度 $d \geq 3$ 下KPZ方程的普遍标度行为，此时由于时空白噪声的存在，方程在形式上是病态的。
• 量化当截断尺度 $\varepsilon \to 0$ 时，解 $h_\varepsilon$ 对其稳态解 $\mathfrak{h}^{\mathrm{st}}_\varepsilon$ 的收敛速率。
• 识别解围绕稳态解的极限涨落场，证明在适当缩放下其收敛于高斯自由场。

提出的方法

• 作者考虑了带有发散重整化常数 $C_\varepsilon$ 的KPZ方程的光滑化版本，以处理奇异噪声。
• 通过Cole-Hopf变换将KPZ方程与乘性噪声的随机热方程联系起来。
• 通过缩放 $\varepsilon^{1 - d/2}[h_\varepsilon(t,x) - \mathfrak{h}^{\mathrm{st}}_\varepsilon(t,x)]$ 分析涨落场，该缩放捕捉了涨落的宏观行为。
• 利用矩估计和正则结构理论中的准则，建立了在局部霍尔德空间 $\mathcal{C}^\alpha_{\mathrm{loc}}$ 中的紧性。
• 通过矩估计和高斯混沌展开，证明了有限维收敛性，即缩放后的涨落收敛于高斯自由场。
• 识别出稳态解的涨落为带有加性噪声的随机热方程的涨落，其边沿分布为高斯自由场。

实验结果

研究问题

• RQ1 当截断尺度 $\varepsilon \to 0$ 时，KPZ方程在 $d \geq 3$ 下的时空涨落行为如何？
• RQ2 围绕稳态解的缩放涨落 $\varepsilon^{1 - d/2}[h_\varepsilon - \mathfrak{h}^{\mathrm{st}}_\varepsilon]$ 的极限分布是什么？
• RQ3 在 $d \geq 3$ 下，KPZ方程的稳态解是否表现出普遍涨落统计特性？若是，其极限场为何？

主要发现

• 缩放涨落 $\varepsilon^{1 - d/2}[h_\varepsilon(t,x) - \mathfrak{h}^{\mathrm{st}}_\varepsilon(t,x)]$ 在有限维分布下收敛于由确定性热方程演化而成的高斯自由场。
• 极限高斯自由场作为涨落场的标度极限出现，表明在 $d \geq 3$ 范围内具有普遍性。
• 稳态解 $\mathfrak{h}^{\mathrm{st}}_\varepsilon$ 本身的涨落收敛于带有加性噪声和初始条件为高斯自由场分布的随机热方程的涨落。
• 当无序强度 $\beta$ 较小时，该收敛性成立，确保了解在极限下仍保持良好行为。
• 分析依赖于缩放涨落场在 $L^p(\mathbb{P})$ 范数下的有界性（$p \in (1,2)$），该性质蕴含了在局部霍尔德空间 $\mathcal{C}^\alpha_{\mathrm{loc}}$ 中的紧性（$\alpha < -d/2$）。
• 该结果在高维情形下建立了KPZ方程与高斯自由场之间的严格联系，将已知的 $d=1$ 结果推广至 $d \geq 3$。