[论文解读] Space-time Galerkin isogeometric method and efficient solver for parabolic problems

Gabriele Loli, Monica Montardini+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2019

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种基于Kronecker积结构和扩展快速对角化方法的新型预条件器的空间-时间Galerkin等几何方法，可高效求解抛物型问题。该方法在自由度增加时实现近似线性可扩展性，并在不同多项式阶次和具有变系数的复杂几何形状下保持鲁棒性。

ABSTRACT

In this work we focus on the preconditioning of a Galerkin space-time isogeometric discretization of the heat equation. Exploiting the tensor product structure of the basis functions in the parametric domain, we propose a preconditioner that is the sum of Kronecker products of matrices and that can be efficiently applied thanks to an extension of the classical Fast Diagonalization method. The preconditioner is robust w.r.t. polynomial degree and the time required for the application is almost proportional to the number of degrees-of-freedom, for a serial execution. By incorporating some information on the geometry parametrization and on the equation coefficients, we keep high efficiency with non-trivial domains and variable thermal conductivity and heat capacity coefficients.

研究动机与目标

• 解决通过空间-时间等几何离散化求解抛物型问题时存在的计算低效问题。
• 开发一种在不同多项式阶次和复杂几何形状下均保持高效性的预条件器。
• 在不牺牲性能的前提下，将几何参数化和变系数（例如热导率）直接集成到求解器中。
• 在串行执行中实现每求解一次接近线性的时间复杂度，确保可扩展性。

提出的方法

• 采用张量积基函数对热方程进行Galerkin空间-时间等几何离散化。
• 通过空间和时间矩阵的Kronecker积之和构造预条件器，以利用张量结构。
• 将经典快速对角化方法扩展，以近乎最优的时间高效应用预条件器。
• 将几何参数化和变系数（例如热导率和比热容）直接整合到预条件器设计中。
• 确保即使在非平凡区域和非恒定系数下，预条件器仍保持有效性和高效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于Kronecker结构的预条件器能否使空间-时间等几何方法在求解抛物型问题时实现接近线性的时间复杂度？
• RQ2 所提出的预条件器在等几何离散化中不同多项式阶次下的表现如何？
• RQ3 当处理复杂几何形状和变系数时，求解器在多大程度上能保持效率？
• RQ4 扩展的快速对角化方法能否在串行执行环境中高效应用该预条件器？

主要发现

• 所提出的预条件器使得串行执行中求解时间几乎随自由度数量线性增长。
• 该方法对等几何基函数的多项式阶次具有鲁棒性。
• 在预条件器中引入几何参数化和变系数不会降低求解器效率。
• 通过利用基函数的张量积结构，扩展的快速对角化方法能有效应用预条件器。