[论文解读] Space-Time Quantization and Nonlocal Field Theory -Relativistic Second Quantization of Matrix Model

S. Tanaka|ArXiv.org|Feb 1, 2000

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文基於Snyder-Yang的量子化時空框架，提出了一種D-粒子矩陣模型的相對論性二次量子化場論。透過假設二次量子化的D場與光錐時間$X^+$對易，作者推導出與矩陣模型一致的哈密頓量與海森堡運動方程，藉由二次量子化統一了D-粒子位置的非對易性與量子化時空結構。

ABSTRACT

We propose relativistic second quantization of matrix model of D particles in a general framework of nonlocal field theory based on Snyder-Yang's quantized space-time. Second-quantized nonlocal field is in general noncommutative with quantized space-time, but conjectured to become commutative with light cone time $X^+$. This conjecture enables us to find second-quantized Hamiltonian of D particle system and Heisenberg's equation of motion of second-quantized {\bf D} field in close contact with Hamiltonian given in matrix model. We propose Hamilton's principle of Lorentz-invariant action of {\bf D} field and investigate what conditions or approximations are needed to reproduce the above Heisenberg's equation given in light cone time. Both noncommutativities appearing in position coordinates of D particles in matrix model and in quantized space-time will be eventually unified through second quantization of matrix model.

研究动机与目标

• 基於量子化時空的非局域場論，發展D-粒子的洛侖茲不變二次量子化場論。
• 統一矩陣模型中D-粒子位置坐標的非對易性與時空本身之非對易結構。
• 推導與矩陣模型哈密頓量相符的二次量子化哈密頓量與海森堡運動方程。
• 研究相對論性作用原理在何種條件下可再現所推導的海森堡運動方程。
• 探討光錐基與極限動量參考系在自相互作用與自質量項中可能產生異常的影響。

提出的方法

• 採用Snyder-Yang的量子化時空代數，將時空坐標$X_\nu$與動量$P_\nu$定義為6維參數空間$(\xi_0,\xi_1,\xi_2,\xi_3,\eta,\tau)$上的微分算符。
• 引入希爾伯特空間I，其中非局域場$U$與量子化時空算符$\mathbf{R}$作為算符作用，光錐表象基底使$X^+$與$U$對角化。
• 在希爾伯特空間II中，透過哈密頓形式主義構造二次量子化的非局域場$\mathbf{U}$，類比於標準量子場論。
• 將該框架應用於D-粒子的矩陣模型，以光錐基底表達二次量子化的$\mathbf{D}$場之哈密頓量。
• 提出$\mathbf{D}$場的洛侖茲不變作用原理，並透過變分法推導運動方程。
• 採用Yang的代數，因其與$X^+$具有有利的對易關係，有利於從作用原理一致地推導海森堡方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在基於Snyder-Yang量子化時空的非局域場論框架下，一致地表述矩陣模型的二次量子化？
• RQ2 在何種條件或近似下，可透過相對論性作用原理再現由矩陣模型哈密頓量推導出的海森堡運動方程？
• RQ3 自相互作用與自質量項中出現異常項的原因為何？是否與光錐基底或極限動量參考系的限制有關？
• RQ4 時空代數的選擇（Snyder對比Yang）如何影響場方程的一致性與與$X^+$的對易性？
• RQ5 時空代數$\mathbf{R}$是否可由物質場動力學動態決定，從而暗示廣義相對論的非對易推廣？

主要发现

• 二次量子化的D場被假設與光錐時間$X^+$對易，使能從矩陣模型哈密頓量一致地推導出海森堡運動方程。
• 矩陣模型中D-粒子位置的非對易性與時空本身的非對易結構，透過二次量子化得以統一。
• 僅在特定近似或條件下，$\mathbf{D}$場的相對論性作用原理才能再現海森堡運動方程，特別是在光錐量化背景下。
• 自相互作用與自質量項中的異常行為與光錐基底及極限動量參考系的極限性質有關，暗示此量化方案存在基礎性問題。
• Yang的代數被發現比Snyder的更適合推導，因其與$X^+$及$P^\pm$具有更簡潔的對易關係。
• 透過擬局域表示基底，建立了非局域場論與傳統局域場論之間的對應關係，其中$\mathbf{u}_n$作為局域區域內激發的產生/湮滅算符作用。