[论文解读] Spaces of closed subgroups of locally compact groups

Pierre de la Harpe|ArXiv.org|Jul 13, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用 30

一句话总结

本文研究局部紧群的闭子群空间，聚焦于使该空间紧化的Chabauty拓扑。对于三维Heisenberg群H，证明了闭子群空间𝒞(H)是一个6维奇异空间，其格子空间ℒₙ(H)同胚于齐次空间ℝ² ⋊ GL₂(ℝ) / ℤ² ⋊ GL₂(ℤ)，且其边界被分解为显式的轨道闭子空间。

ABSTRACT

The set $\Cal C(G)$ of closed subgroups of a locally compact group $G$ has a natural topology which makes it a compact space. This topology has been defined in various contexts by Vietoris, Chabauty, Fell, Thurston, Gromov, Grigorchuk, and many others. The purpose of the talk was to describe the space $\Cal C(G)$ first for a few elementary examples, then for $G$ the complex plane, in which case $\Cal C(G)$ is a 4--sphere (a result of Hubbard and Pourezza), and finally for the 3--dimensional Heisenberg group $H$, in which case $\Cal C(H)$ is a 6--dimensional singular space recently investigated by Martin Bridson, Victor Kleptsyn and the author \cite{BrHK}. These are slightly expanded notes prepared for a talk given at several places: the Kortrijk workshop on {\it Discrete Groups and Geometric Structures, with Applications III,} May 26--30, 2008; the {\it Tripode 14,} École Normale Supérieure de Lyon, June 13, 2008; and seminars at the EPFL, Lausanne, and in the Université de Rennes 1. The notes do not contain any other result than those in \cite{BrHK}, and are not intended for publication.

研究动机与目标

• 使用Chabauty拓扑分析局部紧群闭子群空间的拓扑结构。
• 确定三维Heisenberg群H的闭子群空间的几何与拓扑性质。
• 以Aut(H)作用下的轨道闭子空间形式描述ℒₙ(H)的边界。
• 建立ℒₙ(H)同胚于齐次空间ℝ² ⋊ GL₂(ℝ) / ℤ² ⋊ GL₂(ℤ)的结论。

提出的方法

• 利用局部紧群G的闭子集空间上的Chabauty拓扑，通过紧集与开集定义。
• 将Chabauty–Fell拓扑应用于闭子群空间𝒞(G)，证明当G为局部紧时，𝒞(G)是紧致且Hausdorff的。
• 将Heisenberg群H中的格子空间ℒₙ(H)分析为自同构群Aut(H) ≅ ℝ² ⋊ GL₂(ℝ)对离散子群ℤ² ⋊ GL₂(ℤ)的商空间。
• 将ℒₙ(H)的边界识别为对应于不同类型闭子群的子空间的并集，包括Aut(H)-轨道闭包𝒜(H)。
• 利用Bridson, de la Harpe, 和 Kleptsyn [BrHK] 的结果，将边界分解为九个不同的子空间(i)–(ix)，每个均为Aut(H)-轨道的有限并。
• 依赖ℒ(H)在𝒞(H)中开且稠密的事实，因此ℒₙ(H)与边界分量构成𝒞(H)的一个划分。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Chabauty拓扑下，三维Heisenberg群H的闭子群空间具有怎样的拓扑结构？
• RQ2 Heisenberg群中的格子空间ℒₙ(H)与自同构群Aut(H)之间有何关系？
• RQ3 ℒₙ(H)在𝒞(H)中的边界如何分解？其分量与Aut(H)-轨道有何关联？
• RQ4 ℒₙ(H)是否同胚于一个齐次空间？若是，是哪一个？
• RQ5 ℒₙ(H)边界的子空间(i)–(ix)如何划分H的所有闭子群空间？

主要发现

• 三维Heisenberg群H的闭子群空间𝒞(H)是一个6维奇异拓扑空间。
• 格子空间ℒₙ(H)同胚于齐次空间ℝ² ⋊ GL₂(ℝ) / ℤ² ⋊ GL₂(ℤ)，该空间为非挠的。
• ℒₙ(H)的边界与n无关，由Aut(H)-轨道闭包𝒜(H)与Σ² ⊂ 𝒞≥Z(H) igcup ℒ∞(H)的并集构成。
• 边界分解为九个子空间：(i)–(vi)构成𝒜(H)，(vii)与(viii)属于Σ² ackslash (Σ² ∩ 𝒜(H))，(ix)为𝒞≥Z(H)中相对于ℒ∞(H)的补集。
• 除(vi)外，所有边界分量均为Aut(H)-轨道的有限并，且每个分量在𝒞(H)中闭。
• 所有n ≥ 1的ℒₙ(H)的并集在𝒞(H)中稠密，且与九个边界分量共同构成𝒞(H)的一个划分。