[论文解读] Spaces of quasi-exponentials and representations of the Yangian Y(gl_N)

E. Mukhin, V. Tarasov+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2013

Advanced Algebra and Geometry被引用 7

一句话总结

本文建立了杨代数 $Y(\frak{gl}_N)$ 的贝特定子代数在张量积的评价表示的权子空间与奇异向量子空间上的几何实现。它将这些模识别为离散Wronski映射纤维上函数代数的正则表示，通过代数几何与对称函数，提供了杨代数贝特定代数谱的几何解释。

ABSTRACT

We consider a tensor product $V(b)= \otimes_{i=1}^n\C^N(b_i)$ of the Yangian $Y(gl_N)$ evaluation vector representations. We consider the action of the commutative Bethe subalgebra $B^q \subset Y(gl_N)$ on a $gl_N$-weight subspace $V(b)_λ\subset V(b)$ of weight $λ$. Here the Bethe algebra depends on the parameters $q=(q_1,...,q_N)$. We identify the $B^q$-module $V(b)_λ$ with the regular representation of the algebra of functions on a fiber of a suitable discrete Wronski map. If $q=(1,...,1)$, we study the action of $B^{q=1}$ on a space $V(b)^{sing}_λ$ of singular vectors of a certain weight. Again, we identify the $B^{q=1}$-module $V(b)^{sing}_λ$ with the regular representation of the algebra of functions on a fiber of another suitable discrete Wronski map. These results we announced earlier in relation with a description of the quantum equivariant cohomology of the cotangent bundle of a partial flag variety and a description of commutative subalgebras of the group algebra of a symmetric group.

研究动机与目标

• 描述杨代数 $\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}} \subset Y(\frak{gl}_N)$ 在 $\frak{gl}_N$-权子空间上的作用，这些子空间来自评价表示的张量积。
• 将权子空间 $V(\boldsymbol{b})_{\boldsymbol{\lambda}}$ 上的 $\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}}$-模结构识别为离散Wronski映射纤维上函数代数的正则表示。
• 将此识别推广至 $\boldsymbol{q} = \mathbf{1}$ 的情形，表明在奇异向量 $V(\boldsymbol{b})^{\text{sing}}_{\boldsymbol{\lambda}}$ 上的作用也同构于另一离散Wronski纤维上函数代数的正则表示。
• 通过对称函数与代数曲线，提供一个理解杨代数贝特定代数谱的几何框架，将其与量子上同调及群代数结构联系起来。

提出的方法

• 构造空间 $\mathcal{V} = (\mathbb{C}^N)^{\otimes n} \otimes \mathbb{C}[z_1, \dots, z_n]$，其上具有 $S_n$-作用，并考虑其 $S_n$-不变子空间 $\mathcal{V}^S$。
• 通过Drinfeld型表示，定义 $Y(\frak{gl}_N)$ 在 $\mathcal{V}^S$ 上的作用，将杨代数作用提升至对称张量积。
• 引入由 $\boldsymbol{q} = (q_1, \dots, q_N)$ 参数化的贝特定子代数 $\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}} \subset Y(\frak{gl}_N)$，其与 $\frak{gl}_N$-权分解可交换。
• 通过一个滤子代数同构，将 $\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}}$-模 $V(\boldsymbol{b})_{\boldsymbol{\lambda}}$ 识别为离散Wronski映射纤维上函数代数的正则表示。
• 当 $\boldsymbol{q} = \mathbf{1}$ 时，限制到奇异向量子空间 $V(\boldsymbol{b})^{\text{sing}}_{\boldsymbol{\lambda}}$，并证明 $\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}=\mathbf{1}}$-作用再次同构于另一函数代数的正则表示。
• 利用初等对称多项式 $\sigma_s(\boldsymbol{z})$ 与代数 $\mathbb{C}[z_1, \dots, z_n]^{S_n}$，通过初等对称函数的求值映射，实现函数代数 $\mathcal{O}^{\boldsymbol{q}}_{\boldsymbol{\lambda}}$ 与 $\mathcal{O}_{\boldsymbol{\lambda}}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何几何实现杨代数 $Y(\frak{gl}_N)$-评价模张量积的权子空间上贝特定子代数 $\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}}$ 的作用？
• RQ2 贝特定子代数 $\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}}$-模 $V(\boldsymbol{b})_{\boldsymbol{\lambda}}$ 的代数结构是什么？它与代数曲线上函数代数有何关系？
• RQ3 在奇异向量子空间 $V(\boldsymbol{b})^{\text{sing}}_{\boldsymbol{\lambda}}$ 上，贝特定代数 $\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}=\mathbf{1}}$ 的谱如何几何分解？
• RQ4 能否将离散Wronski纤维上函数代数的正则表示与权子空间或奇异向量子空间上的 $\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}}$-模结构进行自然同构？
• RQ5 对称多项式与Wronski映射在连接 $Y(\frak{gl}_N)$ 的表示理论与代数几何及对称函数之间起到什么作用？

主要发现

• 通过同构 $\tilde{\mu}^{\boldsymbol{q}}_{\boldsymbol{\lambda}}$，$\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}}$-模 $V(\boldsymbol{b})_{\boldsymbol{\lambda}}$ 同构于离散Wronski映射纤维上函数代数的正则表示。
• 当 $\boldsymbol{q} = \mathbf{1}$ 时，$\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}=\mathbf{1}}$-模 $V(\boldsymbol{b})^{\text{sing}}_{\boldsymbol{\lambda}}$ 同构于代数 $\mathcal{O}_{\boldsymbol{\lambda}}$ 的正则表示，该代数是另一离散Wronski映射纤维上函数的代数。
• 同构 $\tilde{\mu}^{\boldsymbol{q}}_{\boldsymbol{\lambda}}$ 尊重代数 $\mathbb{C}[\sigma_1, \dots, \sigma_n]$ 与 $\mathbb{C}[z_1, \dots, z_n]^{S_n}$ 上的滤子结构，通过 $\sigma_s \mapsto \sigma_s(\boldsymbol{z})$ 将其识别。
• 映射 $\tilde{\nu}^{\boldsymbol{q}}_{\boldsymbol{\lambda}}$ 提供了函数代数 $\mathcal{O}^{\boldsymbol{q}}_{\boldsymbol{\lambda}}$ 与 $\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}}$-模 $({\frac{1}{D}}\mathcal{V}^A)_{\boldsymbol{\lambda}}$ 之间的滤子同构，将模实现为正则表示。
• $\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}=\mathbf{1}}$-模 $({\mathcal{V}}^{S})^{\text{sing}}_{\boldsymbol{\lambda}}$ 与 $({\frac{1}{D}}{\mathcal{V}}^{A})_{\boldsymbol{\lambda}}^{\text{sing}}$ 作为 $\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}=\mathbf{1}}$-模是同构的。
• 结果推广了关于 $\mathfrak{gl}_N[t]$-模的早期结果，并为余切丛的子簇的量子等变上同调与对称群代数中的交换子代数提供了几何框架。