[论文解读] Spaces of states of the two-dimensional O(n) and Potts models

Jesper Lykke Jacobsen, Sylvain Ribault+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2022

Algebraic structures and combinatorial models被引用 7

一句话总结

本文通过两种独立方法——扭曲环面配分函数与图代数分支规则——确定了二维 O(n) 和 Q-state Potts 模型在全局对称群（O(n) 与 S_Q）下的态空间结构。其推导出这些表示的显式表达式，以杨图与切比雪夫多项式表示，与重整化组结果在四点函数上的预测一致，并为通用参数 n, Q ∈ ℂ 的临界 CFT 提供精确的分解规则。

ABSTRACT

We determine the spaces of states of the two-dimensional $O(n)$ and $Q$-state Potts models with generic parameters $n,Q\in \mathbb{C}$ as representations of their known symmetry algebras. While the relevant representations of the conformal algebra were recently worked out, it remained to determine the action of the global symmetry groups: the orthogonal group for the $O(n)$ model, and the symmetric group $S_Q$ for the $Q$-state Potts model. We do this by two independent methods. First we compute the twisted torus partition functions of the models at criticality. The twist in question is the insertion of a group element along one cycle of the torus: this breaks modular invariance, but allows the partition function to have a unique decomposition into characters of irreducible representations of the global symmetry group. Our second method reduces the problem to determining branching rules of certain diagram algebras. For the $O(n)$ model, we decompose representations of the Brauer algebra into representations of its unoriented Jones--Temperley--Lieb subalgebra. For the $Q$-state Potts model, we decompose representations of the partition algebra into representations of the appropriate subalgebra. We find explicit expressions for these decompositions as sums over certain sets of diagrams, and over standard Young tableaux. We check that both methods agree in many cases. Moreover, our spaces of states are consistent with recent bootstrap results on four-point functions of the corresponding CFTs.

研究动机与目标

• 完整表征二维 O(n) 与 Q-state Potts 模型的态空间作为其全局对称群（O(n) 与 S_Q）的表示。
• 在已知的共形代数之外，明确描述 O(n) 与 S_Q 对共形场论态的作用。
• 为通用参数 n, Q ∈ ℂ 的临界 O(n) 与 Potts 模型建立统一框架，且与重整化组结果一致。
• 通过两种独立方法，建立全局对称性下态分解的显式、可计算表达式。
• 在多种情形下，通过比较分支系数，验证基于配分函数与代数方法之间的一致性。

提出的方法

• 通过在环面的一个循环上插入群元素，计算扭曲环面配分函数，打破模不变性，但实现对全局对称群不可约表示的唯一分解。
• 使用图代数——O(n) 模型使用 Brauer 代数，Potts 模型使用分拆代数——来描述全局对称性在态空间上的作用。
• 从 Brauer 代数到其无向 Jones–Temperley–Lieb 子代数推导 O(n) 模型的分支规则，从分拆代数到其 PT-L 子代数推导 Potts 模型的分支规则。
• 将表示的分解表达为图与标准杨表的求和，从而实现对重数系数的显式计算。
• 通过比较多个 L 与 r 值下的分支系数，验证扭曲配分函数方法与代数方法之间的一致性。
• 采用转移矩阵对角化与杨投影子分析，计算并交叉验证低 r 表示的分支系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于通用参数 n, Q ∈ ℂ 的二维 O(n) 与 Q-state Potts 共形场论，全局对称群 O(n) 与 S_Q 如何作用于其态空间？
• RQ2 能否通过扭曲配分函数与图代数分支规则独立计算全局对称表示的分解？两种方法是否一致？
• RQ3 何种显式表达式可描述两种模型中不可约表示在态空间分解中的重数？
• RQ4 结果与近期关于对应 CFT 中四点函数的重整化组结果相比如何？
• RQ5 当限制到各自子代数时，Brauer 代数与分拆代数的表示的精确分支规则为何？

主要发现

• O(n) CFT 的态空间分解为由 r ∈ ½ℕ*, s ∈ ½ℤ 标记的表示 Λ_(r,s)，其显式表达式以杨图与切比雪夫多项式表示。
• 对于 O(n) 模型，从 Brauer 代数 ℬ_L(n) 到其 uJTL 子代数的分支规则由对 r' 与杨图的求和给出，系数包含切比雪夫多项式与最大公因数条件。
• 对于 Potts 模型，分拆代数 ℒ_L(Q) 到其 PT-L 子代数的分解给出显式分支规则，重数为 d^λ_(r,s)，已验证至 L=8。
• 重数 d^[L-1,1]_(L,k/L) 在 k ≠ 0 时为 1，k=0 时为 0，与基本表示的维数 L−1 一致。
• 对于表示 [L−2,2]，偶数 k 的重数为 ⌊(L−2)/2⌋，奇数 k 的重数为 ⌊(L−3)/2⌋，总和为 ½L(L−3)，与钩长公式一致。
• 对于 [L−2,1,1]，k=0 时重数为 1+⌊(L−3)/2⌋，非零偶数 k 时为 ⌊(L−3)/2⌋，奇数 k 时为 ⌊(L−2)/2⌋，总和为 ½(L−1)(L−2)，已验证至 L=7。