[论文解读] Spaces of tilings, finite telescopic approximations and gap-labelling

Jean Bellissard, Riccardo Benedetti+1 more|ArXiv.org|Sep 10, 2001

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用 24

一句话总结

本文通过将连续壳 $\Omega_T$ 构造为分枝、定向、平坦的 $d$-维流形的投射极限，建立了 $\mathbb{R}^d$ 中非周期平铺的间隙标记定理，实现了反映系统动力学与拓扑不变量的有限望远镜近似。关键结果证明：与 $C^*$-代数 $\mathcal{A}_T$ 关联的 $K_0$-群的间隙标记集合，等于在康托尔集横截 $\Gamma_T$ 上，横截不变测度 $\mu^t$ 通过整数值连续函数的像，从而证实了一个长期存在的猜想。

ABSTRACT

For a large class of tilings, including the Penrose tiling in two dimension as well as the icosahedral ones in 3 dimension, the continuous hull of such a tiling inherits a minimal lamination structure with flat leaves and a transversal which is a Cantor set. In this case, we show that the continuous hull can be seen as the projective limit of a suitable sequence of branched, oriented and flat compact manifolds.The algebraic topological features related to this sequence reflect the dynamical properties of the action on the continuous hull. In particular the set of positive invariant measures of this action turns to be a convex cone, canonically associated with the orientation, in the projective limit of the top homology groups of the branched manifolds. As an application of this construction we prove a gap-labelling theorem.

研究动机与目标

• 为具有有限局部复杂性和重复性的 $\mathbb{R}^d$ 中非周期平铺的连续壳 $\Omega_T$ 提供一个几何与拓扑框架。
• 通过分枝、定向、平坦的 $d$-维流形的投射极限，建立有限望远镜近似方案，以模拟 $\mathbb{R}^d$ 作用在 $\Omega_T$ 上的渐近动力学。
• 通过证明 $K_0$-群的间隙标记猜想，表明 $\mathcal{A}_T$ 的 $K_0$-群的间隙标记集合，恰好是横截测度 $\mu^t$ 在 $\Gamma_T$ 上通过整数值连续函数的像。

提出的方法

• 将连续壳 $\Omega_T$ 表示为一系列分枝、定向、平坦紧致 $d$-维流形的投射极限，每个流形均提供渐近动力系统的一个有限近似。
• 利用 $\Omega_T$ 上的 $\mathbb{R}^d$-作用，定义一个与近似流形方向相关的正不变测度的凸锥。
• 通过 Thom-Connes 同构构造 $C^*$-代数 $\mathcal{A}_T = \mathcal{C}(\Omega_T) \rtimes \mathbb{R}^d$ 的 $K_0$-群，将其与近似流形的 $d$-阶上同调联系起来。
• 应用 Bott 周期性与 Pimsner-Voiculescu 正合序列，将 $K_0(\mathcal{A}_T)$ 与近似流形的同调及投影的陈类联系起来。
• 利用 Thom-Connes 定理，将 $K_0(\mathcal{A}_T)$ 上的迹 $\mathcal{T}_\mu(P)$ 表示为横截测度 $\mu^t$ 与由单位元或投影导出的微分形式 $\eta$ 所代表的积分上同调类 $k_d \eta$ 的配对。
• 证明 $k_d \eta$ 在 $H^d(B_n, \mathbb{Z})$ 中代表一个积分上同调类（陈类），且迹值等于配对 $<\mu^t, c_{[d/2]}(\beta)>$ 或 $<S\mu_n, c_{[(d+1)/2]}(\beta)>$，具体取决于 $d$ 的奇偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用有限维、分枝、定向、平坦的 $d$-维流形来近似非周期平铺的连续壳 $\Omega_T$？
• RQ2 与 $\mathcal{A}_T$ 关联的 $K_0$-群与近似流形的 $d$-阶同调群的投射极限之间，存在何种精确关系？
• RQ3 是否 $\mathcal{A}_T$ 的 $K_0$-群的间隙标记集合，恰好等于横截不变测度 $\mu^t$ 在康托尔集 $\Gamma_T$ 上通过整数值连续函数的像？
• RQ4 在 $\mathcal{A}_T$ 的 $K$-理论中，投影的陈类如何与不变测度 $\mu$ 对应的迹值 $\mathcal{T}_\mu(P)$ 相关联？
• RQ5 能否在高维中，通过几何近似与 Thom-Connes 同构，严格证明间隙标记猜想？

主要发现

• 具有有限局部复杂性和重复性的平铺的连续壳 $\Omega_T$，可实现为一系列分枝、定向、平坦紧致 $d$-维流形的投射极限。
• 在 $\Omega_T$ 上的正 $\mathbb{R}^d$-不变测度集合，与近似流形的方向有自然对应关系，并在这些流形的 $d$-阶同调群的投射极限中形成一个凸锥。
• 间隙标记定理已得证：$\mathcal{T}_\mu(K_0(\mathcal{A}_T)) = \int_{\Gamma_T} d\mu^t \, \mathcal{C}(\Gamma_T, \mathbb{Z})$，证实间隙标记恰好是整数值连续函数在横截康托尔集 $\Gamma_T$ 上的积分。
• 迹 $\mathcal{T}_\mu(P)$ 在 $K_0(\mathcal{A}_T)$ 上的表达式为：当 $d$ 为偶数时，$<\mu^t, c_{[d/2]}(\beta)>$；当 $d$ 为奇数时，$<S\mu_n, c_{[(d+1)/2]}(\beta)>$，其中 $\beta$ 是 $[P]$ 在 Thom-Connes 同构下的像。
• Thom-Connes 定理中的归一化常数 $k_d$ 确保微分形式 $k_d \eta$ 在 $H^d(B_n, \mathbb{Z})$ 中代表一个积分上同调类，从而将 $K$-理论与积分上同调联系起来。
• 该结果证实了在具有横截康托尔集结构的平铺壳上，$\mathbb{R}^d$-不变测度的间隙标记猜想，将此前在 $d=1$ 和 $d=2$ 时的结果推广至任意维度 $d$。