[论文解读] Spacetime as the Manifold of the Internal Symmetry Orbits in the External Symmetries

Heinrich Saller|ArXiv.org|Mar 7, 2001

Astro and Planetary Science参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文提出，时空作为内部规范群——特别是超荷-同位旋（U(2)）——作用于外部洛伦兹群（SL(ℂ²)）的轨道流形而涌现。通过将时空坐标解释为从内部对称性到外部对称性诱导表示的参数，该框架通过规范机制的几何实现和洛伦兹提升，统一了粒子态与相互作用，其中标准模型场作为映射内部与外部对称性表示的转换器。

ABSTRACT

Interactions and particles in the standard model are characterized by the action of internal and external symmetry groups. The four symmetry regimes involved are related to each other in the context of induced group representations. In addition to Wigner's induced representations of external Poincaré group operations, parametrized by energy-momenta, and the induced internal hyperisospin representations, parametrized by the standard model Higgs field, the external operations, including the Lorentz group, can be considered to be induced also by representations of the internal hypercharge-isospin group. In such an interpretation nonlinear spacetime is parametrized by the orbits of the internal action group in the external action group.

研究动机与目标

• 建立时空作为内部对称性群作用于外部对称性时的轨道空间的几何与群论基础。
• 通过内部（U(2)）与外部（SL(ℂ²)）对称性群的诱导表示，统一标准模型中粒子与相互作用的描述。
• 证明时空坐标、动量与希格斯场作为连接内部与外部对称性区域的诱导表示参数而涌现。
• 表明标准模型场（外尔场、狄拉克场、规范场）作为内部与外部对称性表示之间的转换器。
• 通过齐性空间与诱导群作用，提供一种新的操作三重结构，将希格斯、外尔与泡利转换器联系起来。

提出的方法

• 使用庞加莱群与内部超同位旋群（U(2)）的诱导幺正表示，将时空参数化为内部群作用于外部对称群的轨道空间。
• 将维格纳的诱导表示方法应用于外部（庞加莱）与内部（U(2)）对称性，以能量-动量（q）与希格斯场（Φ）作为群参数化变量。
• 引入转换器作为从齐性空间切空间（如SL(ℂ²)/SU(2)）到内部与外部表示空间张量积（D[U] ⊗ T[G]）的场映射。
• 构建三种基本转换器：外尔场（L）、右手中性外尔场（R）与规范场（A），每种均变换于特定的内部-外部对称性对。
• 通过希格斯自由度（Φ/M）与动量齐性空间（q/m）将粒子态（具有U(1)与SO(2)对称性）到相互作用（具有U(2)与SL(ℂ²)对称性）的过渡参数化。
• 通过齐性空间表示定义一种操作三重结构，将希格斯（U(1) × U(2)/U(1)₊）、外尔（SU(2) × SL(ℂ²)/SU(2)）与泡利（SO(2) × SU(2)/SO(2)）转换器通过齐性空间联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何能从内部对称性群作用于外部对称性的轨道中几何地导出时空？
• RQ2 希格斯场在参数化从内部粒子对称性到外部相互作用对称性的过渡中起什么作用？
• RQ3 标准模型场如外尔旋量与规范玻色子如何作为内部与外部对称性表示之间映射而涌现？
• RQ4 能否通过诱导表示理论从内部超同位旋（U(2)）表示中诱导出洛伦兹群与时空坐标？
• RQ5 操作三重结构在统一粒子与相互作用对称性中的意义是什么？

主要发现

• 时空被实现为内部U(2)群作用于外部SL(ℂ²)洛伦兹群的轨道流形，其中时空坐标x≻作为从内部到外部对称性的诱导表示的参数。
• 希格斯场Φ/M参数化齐性空间U(2)/U(1)₊，通过诱导表示实现从内部粒子对称性（U(1)）到相互作用对称性（U(2)）的过渡。
• 外尔场L(x)是将齐性空间SL(ℂ²)/SU(2)（提升流形）映射到张量积空间ℂ²⊗ℂ²的转换器，变换于U(2) × UL(ℂ²)，具有忠实作用。
• 右手中性外尔场R(x)与规范场A(x)分别是变换于U(1) × UL(ℂ²)与SO(3) × SO₀(1,3)对称性的转换器，各自具有完整的内部-外部表示空间。
• 泡利转换器u(𝐪/|𝐪|)通过齐性空间SU(2)/SO(2)参数化动量方向，将自旋量化与动量空间中的空间取向联系起来。
• 整个框架实现了一种三重结构：希格斯（U(1) × U(2)/U(1)₊）、外尔（SU(2) × SL(ℂ²)/SU(2)）与泡利（SO(2) × SU(2)/SO(2)）转换器，每种均编码了标准模型中一种独特的对称性转换。