[论文解读] Spacetime is Right-handed

Peter Woit|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2023

Relativity and Gravitational Theory被引用 6

一句话总结

本文提出了一种仅使用右手旋量的时空 chirally 不对称形式化，其中闵可夫斯基时空通过 Wicks 旋转变为具有突出的虚时方向的四维欧几里得空间。通过在此右手旋量几何中构建杨-米尔斯和广义相对论作用量，利用自对偶的二形式，该理论在左手旋量上表现出内部 $SU(2)$ 对称性——暗示了量子场论中内部对称性的新颖几何起源。

ABSTRACT

We describe the relation between vectors and spinors in complex spacetime in an unconventional chirally asymmetric manner, using purely right-handed spinors, with Minkowski spacetime getting Wick rotated to a four-dimensional Euclidean spacetime with a distinguished direction. In this right-handed spinor geometry self-dual two-forms can be used to get chiral formulations of the Yang-Mills and general relativity actions. Euclidean spacetime left-handed spinors then transform under an internal $SU(2)$ symmetry, rather than the usual $SU(2)_L$ spacetime symmetry related by analytic continuation to the Lorentz group $SL(2,\mathbf C)$.

研究动机与目标

• 探索一种与传统复时空几何不同的 chirally 不对称替代形式，其中仅使用右手旋量来描述时空向量和联络。
• 研究当仅使用右手旋量形式化时，闵可夫斯基时空与欧几里得时空之间的解析延拓如何被重新解释。
• 检查欧几里得时空中的 $SU(2)_{L}$ 对称性是否可对应于内部对称性而非时空对称性，从而可能解释内部规范群的起源。
• 使用基于右手旋量的自对偶二形式，在欧几里得度规下重新表述杨-米尔斯和广义相对论的作用量。
• 提出一种几何框架，其中标准模型的内部对称性可能源自基于右手旋量的欧几里得形式化中的时空对称性。

提出的方法

• 将时空向量表示为仅由右手旋量构造的厄米特 $2\times2$ 矩阵，使用 $SL(2,\mathbf{C})_{R}$ 作用代替传统的 $SL(2,\mathbf{C})_{L} \times SL(2,\mathbf{C})_{R}$ 对称性。
• 执行 Wicks 旋转至欧几里得时空，时间方向为纯虚数，其中 $SL(2,\mathbf{C})_{R}$ 的 $SU(2)_{R}$ 子群非平凡作用，而 $SU(2)_{L}$ 子群平凡作用。
• 从右手旋量构造自对偶二形式，以在欧几里得度规下定义杨-米尔斯和广义相对论的旋量形式作用量。
• 使用 Ashtekar 类型的拉格朗日量 $\int \Sigma^{\dot{A}\dot{B}} \wedge R_{\dot{A}\dot{B}}$，其中 $\Sigma$ 取值于右手旋量的对称积，推导爱因斯坦方程。
• 以右手旋量表示的旋量表示形式，识别切丛和标架丛结构，其中 tetrad 一形式 $\theta$ 取值于 $\left(\frac{1}{2}\right)_{R} \otimes \left(\frac{1}{2}\right)_{R}$。
• 提出欧几里得标架丛的 $SU(2)_{L}$ 对称性可能不作用于时空，而是作用于左手旋量作为内部对称性，可能与标准模型的电弱群相关。

实验结果

研究问题

• RQ1 仅使用右手旋量的 chirally 不对称旋量形式化是否能提供一种无需依赖左手旋量的闵可夫斯基时空和欧几里得时空的一致几何描述？
• RQ2 当仅使用右手旋量时，闵可夫斯基时空与欧几里得时空之间的解析延拓有何不同？
• RQ3 在欧几里得右手旋量形式化中，$SU(2)_{L}$ 对称性的物理意义是什么？它是否可能作为内部对称性而非时空对称性发挥作用？
• RQ4 是否可以仅使用基于右手旋量构造的自对偶二形式，在欧几里得度规下重新表述杨-米尔斯和爱因斯坦作用量？
• RQ5 这种 chirally 不对称框架是否为标准模型的内部对称性（如电弱理论中的 $SU(2)_{L}$）提供了几何起源？

主要发现

• 本文构建了一种完全基于右手旋量的时空几何，其中复洛伦兹群被 $SL(2,\mathbf{C})_{R}$ 取代，通过将时间设为纯虚数的 Wicks 旋转恢复闵可夫斯基度规。
• 在所得的欧几里得时空中，$SL(2,\mathbf{C})_{R}$ 的 $SU(2)_{R}$ 子群在切空间上非平凡作用，而 $SU(2)_{L}$ 子群平凡作用，凸显了右手结构的不对称性。
• 由右手旋量构造的自对偶二形式允许在欧几里得度规下对杨-米尔斯和广义相对论作用量进行 chiral 形式化，避免了切丛的复化。
• 该形式化中的曲率二形式取值于 $SU(2)_{R}$ 的李代数，爱因斯坦方程通过变分法从 Ashtekar 类型作用量 $\int \Sigma^{\dot{A}\dot{B}} \wedge R_{\dot{A}\dot{B}}$ 导出。
• 在此框架中，左手旋量的变换属于内部 $SU(2)$ 对称性而非时空洛伦兹对称性，暗示了内部规范对称性的几何起源。
• 该提议表明，欧几里得旋转群的 $SU(2)_{L}$ 对称性可能不对应于时空旋转，而是对应于电弱 $SU(2)_{L}$ 规范对称性，为内部对称性的起源提供了新视角。