[论文解读] Span, Cospan, and Other Double Categories

Susan Niefield|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文刻画了在具有上向极限的双范畴 𝔻 与基于其底范畴的余链双范畴之间的上 lax/lax 伴随关系，表明此类伴随关系存在当且仅当 𝔻 具有伴随物、对偶物和 1-余表象。右伴随由伴随物与对偶物诱导，左伴随则源于 1-余表象，后者是对称代数与 Artin-Wraith 黏合构造的推广。

ABSTRACT

Given a double category D such that D_0 has pushouts, we characterize oplax/lax adjunctions between D and Cospan(D_0) such that the right adjoint is normal and restricts to the identity on D_0, where Cospan(D_0) denotes the double category on D_0 whose vertical morphisms are cospans. We show that such a pair exists if and only if D has companions, conjoints, and 1-cotabulators. The right adjoints are induced by the companions and conjoints, and the left adjoints by the 1-cotabulators. The notion of a 1-cotabulator is a common generalization of the symmetric algebra of a module and Artin-Wraith glueing of toposes, locales, and topological spaces. Along the way, we obtain a characterization of double categories with companions and conjoints as those for which the identity functor on D_0 extends to a normal lax functor from Cospan(D_0) to D.

研究动机与目标

• 刻画双范畴 𝔻 与基于其底范畴的余链双范畴之间的上 lax/lax 伴随关系。
• 在右伴随为正规且在底范畴上恒等的条件下，识别此类伴随关系存在的必要与充分条件。
• 表明伴随物、对偶物与 1-余表象是诱导此类伴随关系的结构性要素。
• 将多种构造（如对称代数与 Artin-Wraith 黏合）统一于 1-余表象的概念之下。

提出的方法

• 本文使用具有上向极限的双范畴框架来定义并分析上 lax/lax 伴随关系。
• 引入 1-余表象的概念，作为对拓扑斯与拓扑空间中对称代数与 Artin-Wraith 黏合构造的共同推广。
• 右伴随的构造依赖于双范畴 𝔻 中的伴随物与对偶物。
• 左伴随由 1-余表象构建，其作为某种提升问题的普遍解。
• 本文建立了此类伴随关系存在的等价条件，即 𝔻 中必须存在伴随物、对偶物与 1-余表象。
• 将结果应用于标准例子（如交换环上的模范畴与拓扑斯），表明它们满足所需的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，双范畴 𝔻 与基于其底范畴的余链双范畴之间存在上 lax/lax 伴随关系，且右伴随为正规并在底范畴上恒等？
• RQ2 伴随物、对偶物与 1-余表象如何与此类伴随关系的结构相关联？
• RQ3 1-余表象在何种意义上推广了对称代数与 Artin-Wraith 黏合？
• RQ4 此类伴随关系的存在性能否完全以双范畴的结构性质来刻画？
• RQ5 在这些伴随关系中，左与右伴随是否存在典范构造？

主要发现

• 当且仅当 𝔻 具有伴随物、对偶物与 1-余表象时，双范畴 𝔻 与 CoSpan(𝔻₀) 之间存在满足指定性质的上 lax/lax 伴随关系。
• 此类伴随关系中的右伴随由 𝔻 中对象的伴随物与对偶物诱导。
• 左伴随由 1-余表象诱导，其作为涉及余链的某种提升问题的普遍解。
• 1-余表象同时推广了模上的对称代数构造与拓扑斯、格点与拓扑空间的 Artin-Wraith 黏合构造。
• 对于如 Mod(V) 这类双范畴，该伴随关系在等价意义下唯一，且完全由伴随物、对偶物与 1-余表象决定。
• 该构造适用于本文列表中的所有例子（如模范畴、拓扑斯），证实它们均存在此类伴随关系。