[论文解读] Span-program-based quantum algorithm for the rank problem

Aleksandrs Belovs|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用 13

一句话总结

本文提出了一种基于跨度程序的量子算法来解决矩阵秩问题，利用高层跨度程序判断一个 $ n \times m $ 矩阵的秩是否至少为 $ r $。该算法实现了 $ O(\sqrt{r(n-r+1)}LT) $ 的量子查询复杂度，其中 $ L $ 限制了奇异值倒数的范围，$ T $ 为矩阵加载的代价，通过跨度程序组合与见证大小分析，为线性代数问题提供了新颖的解决方法。

ABSTRACT

Recently, span programs have been shown to be equivalent to quantum query algorithms. It is an open problem whether this equivalence can be utilized in order to come up with new quantum algorithms. We address this problem by providing span programs for some linear algebra problems. We develop a notion of a high level span program, that abstracts from loading input vectors into a span program. Then we give a high level span program for the rank problem. The last section of the paper deals with reducing a high level span program to an ordinary span program that can be solved using known quantum query algorithms.

研究动机与目标

• 将跨度程序的应用从公式求值扩展到线性代数问题，特别是矩阵秩问题。
• 开发一种高层跨度程序抽象，将输入加载与逻辑计算分离，实现量子算法的模块化设计。
• 利用已知的量子查询技术，将高层跨度程序约化为标准跨度程序，确保算法的可行性。
• 通过见证大小对偶性和半定规划，建立秩问题与行列式问题的查询复杂度界限。
• 证明在特定矩阵分布下，跨度程序可产生比标准量子方法更优的渐近速度。

提出的方法

• 引入一种高层跨度程序模型，抽象化输入加载过程，支持线性代数问题的模块化设计。
• 定义跨度程序的见证大小度量，并利用其与广义对手界限的对偶性，建立查询复杂度的等价性。
• 通过组合测试向量是否属于子空间的子程序以及利用奇异值倒数检测满秩的子程序，构建矩阵秩问题的高层跨度程序。
• 利用组合规则将高层跨度程序约化为标准跨度程序，从而可通过已知的量子查询算法实现。
• 通过正负见证范数的几何平均，分析组合程序的见证大小，同时考虑多路复用器和分解的代价。
• 利用已知的量子查询下界（如Grover和Deutsch-Jozsa）证明加载子程序复杂度的最优性，包括 $ \Omega(\sqrt{n}) $ 和 $ \Omega(\sqrt{m}) $ 因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 跨度程序能否系统性地用于设计超越公式求值的线性代数问题的新量子算法？
• RQ2 在奇异值受约束的条件下，确定矩阵秩至少为 $ r $ 的最优量子查询复杂度是多少？
• RQ3 如何在保持查询效率的前提下，将高层跨度程序约化为标准跨度程序？
• RQ4 即使输入向量的范数有界，矩阵加载子程序中的 $ O(\sqrt{n}) $ 因子是否必不可少？
• RQ5 在典型矩阵分布下，基于跨度程序的算法能否在行列式问题上超越相位估计算法或振幅放大？

主要发现

• 矩阵秩问题可在 $ O(\sqrt{r(n-r+1)}LT) $ 次量子查询内解决，其中 $ L $ 限制了矩阵前 $ r $ 个最大奇异值倒数的平方平均值。
• 对于行列式问题（$ r = n $），查询复杂度变为 $ O(\sqrt{n}c(A)T) $，其中 $ c(A) = \|A^{-1}\|_E / \sqrt{n} $，相较于相位估计对谱宽的矩阵提供了更紧的界。
• 在合理的矩阵分布下，与相位估计和振幅放大相比，该算法在渐近意义上实现了速度提升。
• 通过约化到唯一搜索问题，证明了即使在输入向量范数为 $ O(1) $ 的情况下，矩阵加载子程序中的 $ O(\sqrt{n}) $ 因子也是最优的。
• 组合跨度程序的见证大小按 $ O(\ell(k + \ell)\|w'\}^2 \log(m+n)) $ 缩放，其中 $ \ell $ 和 $ k $ 为分解参数，证实了该构造的可扩展性。
• 查询复杂度的下界表明，加载子程序中的 $ O(\sqrt{m}) $ 和 $ \Omega(\sqrt{m}) $ 因子是紧的，即使在范数约束下也是如此。