[论文解读] Spanning Trees and Mahler Measure

Daniel S. Silver, Susan G. Williams|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2016

Graph theory and applications参考文献 13被引用 6

一句话总结

该论文建立了具有余有限自由 ℤ^d 对称性的无限图的渐近复杂度与其拉普拉斯多项式对数马勒度量之间的精确联系。证明了有限商图中生成树计数的增长率由 m(Δ) 给出，并表明当非零时，m(Δ(ℤ^d)) ≥ log 2，且当 d → ∞ 时，渐近行为满足 m(Δ(ℤ^d)) ∼ log(2d)。

ABSTRACT

The complexity of a finite connected graph is its number of spanning trees; for a non-connected graph it is the product of complexities of its connected components. If $G$ is an infinite graph with cofinite free ${\mathbb Z}^d$-symmetry, then the logarithmic Mahler measure $m(Δ)$ of its Laplacian polynomial $Δ$ is the exponential growth rate of the complexity of finite quotients of $G$. It is bounded below by $m(Δ({\mathbb G}_d))$, where ${\mathbb G}_d$ is the grid graph of dimension $d$. The growth rates $m(Δ({\mathbb G}_d))$ are asymptotic to $\log 2d$ as $d$ tends to infinity. If $m(Δ(G)) e 0$, then $m(Δ(G)) \ge \log 2$. An application to determinant growth rates of families of alternating links arising from planar graphs is given.

研究动机与目标

• 刻画具有余有限自由 ℤ^d 对称性的无限图的有限商图中生成树计数的渐近增长速率。
• 建立该增长速率与图的拉普拉斯多项式对数马勒度量之间的严格联系。
• 确定此类图的最小可能非零马勒度量，证明其下界为 log 2。
• 分析格图 ℤ^d 的马勒度量在维度 d 增大时的渐近行为。
• 通过 ℤ^d 作用的拓扑熵，为生成树复杂度提供动力系统解释。

提出的方法

• 将有限图 G 的复杂度定义为每个连通分支中生成树数量的乘积。
• 利用基尔霍夫矩阵树定理，通过拉普拉斯矩阵 L 的余因子计算 τ(G)。
• 对于具有余有限自由 ℤ^d 作用的无限图，定义其拉普拉斯多项式 Δ(G) 在分式多项式环 ℤ[x₁±¹,…,x_d±¹] 中。
• 将对数马勒度量 m(Δ) 用作渐近复杂度增长速率，其由 d 维环面上的积分导出。
• 利用代数动力系统，将 m(Δ) 解释为着色模的庞特里亚金对偶上的 ℤ^d 作用的拓扑熵。
• 应用不等式和积分恒等式（例如，∫₀¹ log|sin(πθ)| dθ = −log 2）以推导下界和渐近估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有余有限自由 ℤ^d 对称性的无限图的有限商图中，生成树数量的渐近增长速率是什么？
• RQ2 拉普拉斯多项式的对数马勒度量与相关 ℤ^d 作用的拓扑熵之间有何关系？
• RQ3 此类图中 m(Δ(G)) 的最小可能非零值是多少？是否被 log 2 下界控制？
• RQ4 当维度 d 趋向无穷时，m(Δ(ℤ^d)) 的行为如何？
• RQ5 能否对格图 Δ(ℤ^d) 的马勒度量进行上界估计并渐近逼近？

主要发现

• 具有 ℤ^d 对称性的无限图 G 的有限商图的渐近复杂度增长速率恰好等于其对数马勒度量 m(Δ(G))。
• 对于任意满足 m(Δ(G)) ≠ 0 的此类图 G，均有 m(Δ(G)) ≥ log 2，从而确立了紧致下界。
• 格图 Δ(ℤ^d) 的马勒度量满足当 d → ∞ 时，m(Δ(ℤ^d)) ∼ log(2d)，且 m(Δ(ℤ^d)) ≤ log(2d)。
• 该度量 m(Δ(ℤ^d)) 由如下 d 重积分给出：∫₀¹⋯∫₀¹ log|2d − ∑ᵢ₌₁^d 2cos(2πθᵢ)| dθ₁⋯dθ_d。
• 当 d 较大时，差值 m(Δ(ℤ^d)) − log(2d) 趋近于零，该结论通过渐近展开和对称性论证得到证明。
• 当图具有两个边轨道和一个顶点轨道时，下界 log 2 被实现，此时拉普拉斯多项式形式为 4 − x − x⁻¹ − x^s − x⁻^s。