[论文解读] Spanning Trees and Spanning Eulerian Subgraphs with Small Degrees. II

Morteza Hasanvand|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文通過引入一個包含實參數 λ 的新型度函數條件，建立了圖中存在度數有界的生成樹及生成歐拉子圖的充分條件。證明顯示，在此條件下，圖可具有受控度數的生成樹，並進一步推廣至邊連通圖與韌度圖，包括對 Jackson 與 Wormald 長期以來的猜想提出證明。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected graph with $X\subseteq V(G)$ and with the spanning forest $F$. Let $\lambda\in [0,1]$ be a real number and let $\eta:X ightarrow (\lambda,\infty)$ be a real function. In this paper, we show that if for all $S\subseteq X$, $\omega(G\setminus S)\le\sum_{v\in S}\big(\eta(v)-2\big)+2-\lambda(e_G(S)+1)$, then $G$ has a spanning tree $T$ containing $F$ such that for each vertex $v\in X$, $d_T(v)\le \lceil\eta(v)-\lambda ceil+\max\{0,d_F(v)-1\}$, where $\omega(G\setminus S)$ denotes the number of components of $G\setminus S$ and $e_G(S)$ denotes the number of edges of $G$ with both ends in $S$. This is an improvement of several results and the condition is best possible. Next, we also investigate an extension for this result and deduce that every $k$-edge-connected graph $G$ has a spanning subgraph $H$ containing $m$ edge-disjoint spanning trees such that for each vertex $v$, $d_H(v)\le \big\lceil \frac{m}{k}(d_G(v)-2m)\big ceil+2m$, where $k\ge 2m$; also if $G$ contains $k$ edge-disjoint spanning trees, then $H$ can be found such that for each vertex $v$, $d_H(v)\le \big\lceil \frac{m}{k}(d_G(v)-m)\big ceil+m$, where $k\ge m$. Finally, we show that strongly $2$-tough graphs, including $(3+1/2)$-tough graphs of order at least three, have spanning Eulerian subgraphs whose degrees lie in the set $\{2,4\}$. In addition, we show that every $1$-tough graph has spanning closed walk meeting each vertex at most $2$ times and prove a long-standing conjecture due to Jackson and Wormald (1990).

研究动机与目标

• 透過引入一個包含實參數 λ 的靈活度函數條件，推廣現有關於度數有界生成樹的結果。
• 將受控度數之生成子圖理論推廣至邊連通圖與韌度圖。
• 解決 Jackson 與 Wormald（1990 年）關於 1-韌度圖與閉 walks 的長期猜想。
• 提供此類子圖存在性的緊緻、最佳可能條件，超越先前的定理。

提出的方法

• 引入度函數 η: X → (λ, ∞) 及實參數 λ ∈ [0,1]，以控制生成樹中的頂點度數。
• 對頂點子集 S ⊆ X 使用結構條件：ω(G∖S) ≤ ∑_{v∈S}(η(v)−2) + 2 − λ(e_G(S)+1)，連結連通分量數與邊密度。
• 應用數學歸納法與邊移除論證，構造包含給定森林 F 且度數受控的生成樹 T。
• 推導度數界：對所有 v ∈ X，有 d_T(v) ≤ ⌈η(v)−λ⌉ + max{0, d_F(v)−1}。
• 將主要結果應用於 k-邊連通圖，以構造包含 m 條邊不相交生成樹的生成子圖 H。
• 利用韌度條件（例如 2-韌度或 (3+1/2)-韌度）證明存在度數屬於 {2,4} 的生成歐拉子圖。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，連通圖會存在包含給定森林且頂點度數有界的生成樹？
• RQ2 如何利用實參數 λ 與度函數 η，最佳化此類生成樹中的度數界？
• RQ3 這些結果能否推廣至邊連通圖，以保證存在包含多條邊不相交生成樹且度數受控的生成子圖？
• RQ4 強 2-韌度圖（包括 (3+1/2)-韌度圖）是否總是存在度數屬於 {2,4} 的生成歐拉子圖？
• RQ5 每一個 1-韌度圖是否都存在一個生成閉_walk，使得每個頂點最多被訪問兩次，從而確認 Jackson–Wormald（1990）的猜想？

主要发现

• 本文確立了存在生成樹 T 且包含給定森林 F 的最佳可能充分條件，對所有 v ∈ X，有 d_T(v) ≤ ⌈η(v)−λ⌉ + max{0, d_F(v)−1}。
• 對於每一個 k-邊連通圖 G（k ≥ 2m），存在一個生成子圖 H，包含 m 條邊不相交生成樹，且 d_H(v) ≤ ⌈(m/k)(d_G(v)−2m)⌉ + 2m。
• 若 G 包含 k ≥ m 條邊不相交生成樹，則 H 可構造為 d_H(v) ≤ ⌈(m/k)(d_G(v)−m)⌉ + m。
• 每一個 (3+1/2)-韌度圖（階數至少為三），以及更一般地，每一個強 2-韌度圖，皆存在一個生成歐拉子圖，其所有頂點度數屬於 {2,4}。
• 每一個 1-韌度圖皆存在一個生成閉_walk，使得每個頂點最多被訪問兩次，從而確認 Jackson–Wormald（1990）的猜想。
• 主要的度數有界生成樹條件為緊緻，且優於圖論中多項先前結果。