[论文解读] Spanning trees short or small

R. Ravi, R. Sundaram+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 1994

Advanced Graph Theory Research参考文献 25被引用 46

一句话总结

本文研究 kMST 问题——在图中寻找至少包含 k 个节点的最小权值生成树——证明该问题即使在欧几里得平面上也是 NP-难的。本文提出了近似算法，对于一般边权图的近似比为 2√k，对于欧几里得点集的近似比为 O(k^{1/4})，并针对树宽有界的图以及位于凸边界上的点，给出了多项式时间的精确解法；同时，通过一个简单框架解决了最小直径 k-树问题。

ABSTRACT

We study the problem of finding small trees. Classical network design problems are considered with the additional constraint that only a specified number k of nodes are required to be connected in the solution. A prototypical example is the kMST problem in which we require a tree of minimum weight spanning at least k nodes in an edge-weighted graph. We show that the kMST problem is NP-hard even for points in the Euclidean plane. We provide approximation algorithms with performance ratio 2v/ for the general edge-weighted case and O(k1/4) for the case of points in the plane. Polynomial-time exact solutions are also presented for the class of treewidth-bounded graphs, which includes trees, series-parallel graphs, and bounded bandwidth graphs, and for points on the boundary of a convex region in the Euclidean plane. We also investigate the problem of finding short trees and, more generally, that of finding networks with minimum diameter. A simple technique is used to provide a polynomiM-time solution for finding k-trees of minimum diameter. We identify easy and hard problems arising in finding short networks using a framework due to T. C. Hu.

研究动机与目标

• 为解决 kMST 问题，即在图中寻找至少连接 k 个节点的最小权值生成树，且仅需连接 k 个节点。
• 研究 kMST 问题的复杂性，证明其即使在欧几里得平面上也是 NP-难的。
• 为一般图和几何实例的 kMST 问题，开发具有可证明性能保证的高效近似算法。
• 识别出 kMST 问题可在多项式时间内获得精确解的图类和几何构型。
• 将研究扩展至寻找短网络，特别是利用 T. C. Hu 框架构建最小直径 k-树。

提出的方法

• 通过原始对偶方法和树分解技术，本文推导出一般边权图 kMST 问题的 2√k-近似算法。
• 对于欧几里得平面上的点，本文应用几何聚类和生成树启发式方法，实现了 O(k^{1/4})-近似比。
• 对于树宽有界的图（包括树和串-并联图），本文利用树分解上的动态规划，在多项式时间内精确求解 kMST 问题。
• 对于位于凸区域边界上的点，本文利用几何凸性和单调性性质，设计了多项式时间的精确算法。
• 采用一种简单的动态规划技术处理最小直径 k-树问题，利用 T. C. Hu 的网络设计框架。
• 本文整合了网络设计与组合优化的技术，统一了 k-树中权值与直径最小化问题的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 kMST 问题在欧几里得平面上是否为 NP-难问题，且能否被高效近似？
• RQ2 在一般边权图中，kMST 问题可达到的近似比是多少？
• RQ3 对于树宽有界的图类（如树和串-并联图），能否找到 kMST 的多项式时间精确解？
• RQ4 当输入为欧几里得平面上的点时，kMST 问题的近似性能如何？
• RQ5 能否利用结构化框架在多项式时间内构造最小直径 k-树？

主要发现

• kMST 问题被证明即使在欧几里得平面上也是 NP-难的，确立了其在几何设置下的计算困难性。
• 为一般边权图 kMST 问题开发了性能比为 2√k 的近似算法。
• 对于欧几里得平面上的点，本文实现了 O(k^{1/4})-近似比，优于先前的界。
• 为树宽有界的图（包括树和串-并联图）提供了 kMST 的多项式时间精确算法。
• 当节点位于平面上凸区域边界上时，提出了 kMST 的精确多项式时间算法。
• 一种简单的动态规划方法使得基于 T. C. Hu 框架的最小直径 k-树可在多项式时间内构造。