[论文解读] Spanning Trees With Edge Conflicts and Wireless Connectivity

Magnús M. Halldórsson, Guy Kortsarz+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Mobile Ad Hoc Networks参考文献 34被引用 3

一句话总结

本文提出了连通性调度问题，该问题在通过冲突（超）图建模的边冲突下，寻找具有最少调度时隙的生成树。提出了一种贪心算法，实现了 O(ρ log n) 的近似比，其中 ρ 为冲突图的归纳独立数，表明即使在无线条件不规则且无几何假设的情况下，性能依然高效。

ABSTRACT

We introduce the problem of finding a spanning tree along with a partition of the tree edges into fewest number of feasible sets, where constraints on the edges define feasibility. The motivation comes from wireless networking, where we seek to model the irregularities seen in actual wireless environments. Not all node pairs may be able to communicate, even if geographically close --- thus, the available pairs are modeled with a link graph $\mathcal{L}=(V,E)$. Also, signal attenuation need not follow a nice geometric formulas --- hence, interference is modeled by a conflict (hyper)graph $\mathcal{C}=(E,F)$ on the links. The objective is to maximize the efficiency of the communication, or equivalently minimizing the length of a schedule of the tree edges in the form of a coloring. We find that in spite of all this generality, the problem can be approximated linearly in terms of a versatile parameter, the inductive independence of the interference graph. Specifically, we give a simple algorithm that attains a $O(ρ\log n)$-approximation, where $n$ is the number of nodes and $ρ$ is the inductive independence, and show that near-linear dependence on $ρ$ is also necessary. We also treat an extension to Steiner trees, modeling multicasting, and obtain a comparable result. Our results suggest that several canonical assumptions of geometry, regularity and "niceness" in wireless settings can sometimes be relaxed without a significant hit in algorithm performance.

研究动机与目标

• 通过用任意链路图和冲突图替代几何假设，对现实世界中的无线不规则性（如不可靠链路和非几何干扰）进行建模。
• 研究在边冲突约束下，寻找具有最少调度时隙的生成树的复杂性。
• 设计一种高效近似算法，即使在无线连通性和干扰缺乏规律性的情况下，也能保持有效性。
• 将框架扩展至在类似冲突约束下的多播应用中的斯坦纳树问题。

提出的方法

• 通过链路图 L = (V, L) 建模可用链路，允许任意连通性约束。
• 使用分数冲突图 C = (L, W) 表示干扰，其中 W(e,f) 衡量链路 e 和 f 之间的干扰程度。
• 应用一种贪心算法，结合克鲁斯卡尔最小生成树构造与冲突感知的边着色策略。
• 将冲突图的归纳独立数 ρ 作为关键参数，用于界定近似比。
• 通过按链路长度类别分组并分别调度每类，将结果扩展至斯坦纳树。
• 利用已知的 SINR 和功率控制结果，推导出物理层模型下的边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当链路非均匀可用且干扰不遵循几何规则时，无线连通性问题能否被高效求解？
• RQ2 当冲突图为任意图且不依赖几何关系时，可能获得的近似保证是什么？
• RQ3 冲突图的归纳独立数 ρ 如何影响生成树的可调度性？
• RQ4 在任意链路可用性和干扰条件下，能否为斯坦纳树获得类似的近似比？
• RQ5 是否存在一种方法，可将调度复杂度与几何假设解耦，同时保持近似最优性能？

主要发现

• 连通性调度问题存在 O(ρ log n) 近似比的近似算法，其中 ρ 为冲突图的归纳独立数。
• 该近似比接近最优，因为即使在 ρ 为常数时，Ω(ρ log n) 的依赖关系也是必需的。
• 贪心算法优于朴素的基于 MST 的着色方法，后者在冲突约束下可能严重失效。
• 在具有固定单调功率的几何 SINR 模型下，斯坦纳连通性调度问题可实现 O(log Λ log n) 近似比。
• 在全局功率控制下，近似比提升至 O(log n log∗Λ)，表明通过功率自适应可获得显著性能增益。
• 该问题在即使存在缺失链路的几何设置下，也难以近似至 n1−ϵ，表明其固有的计算难度。