[论文解读] Sparks and Deterministic Constructions of Binary Measurement Matrices from Finite Geometry

Shu‐Tao Xia, Xinji Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2013

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 31被引用 3

一句话总结

本论文利用有限几何提出了两种二元测量矩阵的确定性构造，其火花值（spark）高于以往方法。通过与LDPC码的关联，作者推导出火花值的改进下界，并通过仿真表明，在正匹配追踪（OMP）算法下，所提出的矩阵在稀疏信号恢复方面优于高斯随机矩阵。

ABSTRACT

Abstract—For a measurement matrix in compressed sensing, its spark (or the smallest number of columns that are linearly dependent) is an important performance parameter. The matrix with spark greater than 2k guarantees the exact recovery of k-sparse signals under an l0-optimization, and the one with large spark may perform well under approximate algorithms of the l0-optimization. Recently, Dimakis, Smarandache and Vontobel revealed the close relation between LDPC codes and compressed sensing and showed that good parity-check matrices for LDPC codes are also good measurement matrices for compressed sensing. By drawing methods and results from LDPC codes, we study the performance evaluation and constructions of binary measurement matrices in this paper. Two lower bounds of spark are obtained for general binary matrices, which improve the previously known results for real matrices in the binary case. Then, we propose two classes of deterministic binary measurement matrices based on finite geometry. Two further improved lower bounds of spark for the proposed matrices are given to show their relatively large sparks. Simulation results show that in many cases the proposed matrices perform better than Gaussian random matrices under the OMP algorithm. Index Terms—Compressed sensing (CS), measurement matrix, l0-optimization, spark, binary matrix, finite geometry, LDPC codes, deterministic construction. I.

研究动机与目标

• 提高一般二元测量矩阵火花值的下界。
• 利用有限几何构建确定性的二元测量矩阵。
• 为所提出的矩阵类别建立更紧致的火花值下界，以确保更优的稀疏信号恢复性能。
• 评估所提出矩阵在压缩感知中的性能，特别是针对OMP算法的表现。
• 证明基于有限几何的构造在实际恢复场景中可优于随机高斯矩阵。

提出的方法

• 利用有限几何中的组合结构（特别是射影平面及其关联矩阵）构造二元测量矩阵。
• 利用LDPC码与压缩感知之间的对偶性，将LDPC码校验矩阵的设计原则转移到测量矩阵构造中。
• 基于组合与代数性质，推导出适用于任意二元矩阵的一般火花值下界。
• 针对所提出的基于有限几何的矩阵，利用其结构规则性与稀疏性，建立两个改进的火花值下界。
• 在仿真中应用正匹配追踪（OMP）算法评估重构性能。
• 在相同的稀疏信号恢复条件下，将所提出的确定性矩阵与高斯随机矩阵进行对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用有限几何构造出用于压缩感知的高火花值确定性二元测量矩阵？
• RQ2 所提出矩阵的火花值下界与现有的一般或随机二元矩阵的下界相比如何？
• RQ3 在OMP算法下，所提出的矩阵在稀疏信号恢复中优于高斯随机矩阵的程度如何？
• RQ4 LDPC码设计与高火花值二元测量矩阵构造之间存在何种关系？
• RQ5 在实际压缩感知应用中，确定性构造能否实现与随机构造相当或更优的性能？

主要发现

• 所提出的基于有限几何的二元测量矩阵，其火花值高于以往已知的一般二元矩阵的界限。
• 为所提出的矩阵类别推导出两个改进的火花值下界，证实了其强大的理论性能保证。
• 仿真结果表明，在不同稀疏度水平下，所提出的矩阵在OMP算法下的恢复成功率优于高斯随机矩阵。
• 基于有限几何的确定性构造生成了具有结构化稀疏性与高火花值的矩阵，从而实现了可靠的k-稀疏信号恢复。
• 通过成功将设计原则从LDPC码转移到测量矩阵构造，验证了LDPC码与压缩感知之间的关联。
• 所提出的矩阵为随机构造提供了一种确定性替代方案，在实际恢复任务中表现出相当或更优的性能。