[论文解读] Sparse decompositions of nonlinear dynamical systems and applications to moment-sum-of-squares relaxations

Corbinian Schlosser, Milan Korda|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2020

Advanced Optimization Algorithms Research被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于因果依赖结构的非线性动力系统稀疏分解框架，实现了对吸引域区域（ROA）、最大正不变集（MPI）和全局吸引子（GA）等关键集合的降维计算。通过利用子系统的稀疏性，该方法在不损失精度的前提下，通过凸优化实现了保持收敛性的低维平方和（SOS）松弛，显著减小了半定规划（SDP）的规模。

ABSTRACT

In this paper, we propose a general sparse decomposition of dynamical systems provided that the vector field and constraint set possess certain sparse structures, which we call subsystems. This notion is based on causal dependence in the dynamics between the different states. This results in sparse descriptions for fundamental problems from nonlinear dynamical systems: region of attraction, maximum positively invariant set, and global attractor. The decompositions can be paired with any method for computing (outer) approximations of these sets to reduce the computation to lower dimensional systems. This is illustrated by methods from previous work based on infinite-dimensional linear programming. This exhibits one example where the curse of dimensionality is present and hence dimension reduction is crucial. In this context, for polynomial dynamics, we show that these problems admit a sparse sum-of-squares (SOS) approximation with guaranteed convergence such that the number of variables in the largest SOS multiplier is given by the dimension of the largest subsystem appearing in the decomposition. The dimension of such subsystems depends on the sparse structure of the vector field and the constraint set; if the dimension of the largest subsystem is small compared to the ambient dimension, this allows for a significant reduction in the computation time of the SOS approximations. Numerical examples accompany the approach.

研究动机与目标

• 为解决计算非线性动力系统中基本集合（如吸引域区域（ROA）、最大正不变集（MPI）和全局吸引子（GA））时面临的维数灾难问题。
• 开发一种通用框架，将高维系统分解为因果独立的子系统，以降低计算复杂度。
• 在利用稀疏性的同时，保持对这些集合应用矩-平方和（SOS）松弛时的收敛性保证。
• 提供一种无坐标系、结构感知的方法，适用于任何具备收敛性保证的外逼近方法，而不仅限于特定求解器。

提出的方法

• 该方法基于向量场和约束集中的因果依赖关系识别子系统，定义状态变量的划分，使得各子系统的动力学在因果上相互解耦。
• 引入一种基于图的结构，其中每个子系统对应一个最小划分，该划分诱导了状态空间的因子分解，确保一个子系统的动力学不会因果影响其他子系统。
• 该框架利用运行交集性质和多项式动力学中的稀疏性，构建稀疏平方和（SOS）松弛，其最大的SOS乘子维度等于最大子系统的大小。
• 对每个子系统独立应用矩-平方和层次方法，确保从外部收敛到真实集合。
• 该方法具有通用性，可与任何满足收敛性保证的外逼近方法（如无限维线性规划、集向方法）兼容。
• 通过索引集上的拓扑结构计算分解，其中闭族中最小元素定义了状态空间的最细因子分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用非线性动力系统中的因果稀疏性，将高维问题分解为低维子系统，同时不损失收敛性保证？
• RQ2 如何在保持收敛性的前提下，为吸引域区域、MPI集和全局吸引子构建稀疏平方和松弛？
• RQ3 向量场和约束集需满足何种结构条件，才能实现有效且最小的子系统分解？
• RQ4 能否独立地将矩-平方和层次方法应用于子系统，同时保持收敛到真实不变集？
• RQ5 是否可以通过一种无坐标系、结构感知的分解方法，在半定规划松弛中实现动力系统的维数约简？

主要发现

• 该方法通过将系统分解为因果独立的子系统，实现了对吸引域区域、MPI集和全局吸引子的保持收敛性的低维平方和松弛。
• SOS松弛中最大的半定规划规模仅取决于最大子系统的大小，而非整个系统，从而实现了显著的计算节省。
• 该框架具有通用性，可应用于任何具备收敛性保证的外逼近方法，包括矩-平方和层次方法和集向方法。
• 该分解基于从闭合索引集族中导出的状态变量最小划分，确保了状态空间的最细因子分解。
• 该方法通过利用动力学中的结构性稀疏性，而非多项式中的代数稀疏性，避免了以往稀疏方法中常见的收敛性损失。
• 数值例子表明，该方法在保持收敛到真实不变集的同时，显著减小了SDP规模。