[论文解读] Sparse Fast Fourier Transform for Exactly and Generally K-Sparse Signals by Downsampling and Sparse Recovery

Sung-Hsien Hsieh, Chun-Shien Lu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2014

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新型稀疏快速傅里叶变换（sFFT）算法，通过降采样与基于复数Bose-Chaudhuri-Hocquenghem（BCH）码的稀疏恢复，实现对精确K-稀疏信号的$O(K\log K)$计算复杂度，以及对一般K-稀疏信号的$\max(O(K\log K), O(N))$复杂度，具有高恢复概率和较低的常数因子，在理论和仿真中均优于以往的sFFT方法。

ABSTRACT

Fast Fourier Transform (FFT) is one of the most important tools in digital signal processing. FFT costs O(N \log N) for transforming a signal of length N. Recently, Sparse Fourier Transform (SFT) has emerged as a critical issue addressing how to compute a compressed Fourier transform of a signal with complexity being related to the sparsity of its spectrum. In this paper, a new SFT algorithm is proposed for both exactly K-sparse signals (with K non-zero frequencies) and generally K-sparse signals (with K significant frequencies), with the assumption that the distribution of the non-zero frequencies is uniform. The nuclear idea is to downsample the input signal at the beginning; then, subsequent processing operates under downsampled signals, where signal lengths are proportional to O(K). Downsampling, however, possibly leads to "aliasing." By the shift property of DFT, we recast the aliasing problem as complex Bose-Chaudhuri-Hocquenghem (BCH) codes solved by syndrome decoding. The proposed SFT algorithm for exactly K-sparse signals recovers 1-τfrequencies with computational complexity O(K \log K) and probability at least 1-O(\frac{c}τ)^{τK} under K=O(N), where c is a user-controlled parameter. For generally K-sparse signals, due to the fact that BCH codes are sensitive to noise, we combine a part of syndrome decoding with a compressive sensing-based solver for obtaining $K$ significant frequencies. The computational complexity of our algorithm is \max \left( O(K \log K), O(N) ight), where the Big-O constant of O(N) is very small and only a simple operation involves O(N). Our simulations reveal that O(N) does not dominate the computational cost of sFFT-DT.

研究动机与目标

• 解决现有稀疏快速傅里叶变换（sFFT）算法中存在的依赖$N$的操作与较高的大O常数问题。
• 为在均匀频率分布下精确$K$-稀疏信号设计一种理论复杂度为$O(K\\log K)$的sFFT算法。
• 通过将伴随解码与压缩感知结合，将方法扩展至一般$K$-稀疏信号，以应对BCH码的噪声敏感性。
• 确保$O(N)$项的计算开销较低，避免其在实际中主导整体成本。
• 提供一种简单可实现的算法，避免先前sFFT方法中复杂的参数调优与高常数因子。

提出的方法

• 在开始时应用降采样，将信号长度减少至$O(K)$，从而降低计算负载。
• 利用DFT移位特性，将降采样引起的混叠问题重新表述为复数BCH码的伴随解码问题。
• 对于精确$K$-稀疏信号，利用复数BCH码的伴随解码，在高概率下恢复$1-\tau$个频率。
• 对于一般$K$-稀疏信号，结合部分伴随解码与基于压缩感知的求解器，以缓解BCH码的噪声敏感性。
• 通过矩的多项式求根法（基于行列式）从相关矩中求解频率位置与幅度。
• 利用DFT的结构与移位不变性，将混叠映射为纠错码问题，从而实现高效恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 降采样后通过BCH码进行稀疏恢复，能否实现对精确$K$-稀疏信号的$O(K\log K)$复杂度？
• RQ2 在稀疏傅里叶变换的背景下，如何有效管理降采样引起的混叠？
• RQ3 所提方法能否扩展至一般$K$-稀疏信号，同时保持低计算复杂度？
• RQ4 在所提sFFT框架中，恢复概率与计算成本之间的权衡如何？
• RQ5 复杂度分析中的$O(N)$项如何影响实际性能，是否可以最小化？

主要发现

• 所提出的精确$K$-稀疏信号sFFT实现$O(K\log K)$计算复杂度，恢复概率至少为$1 - O\left(\frac{c}{\tau}\right)^{\tau K}$，其中$c$为用户可控参数。
• 对于一般$K$-稀疏信号，算法结合伴随解码与压缩感知，实现$\max(O(K\log K), O(N))$复杂度，且$O(N)$项的常数因子极小。
• 仿真结果表明，$O(N)$项在实际中并不主导计算成本，验证了理论复杂度分析。
• 该算法易于实现，避免了先前sFFT方法中复杂的参数调优与高常数因子问题。
• 该方法在恢复性能上提供了强有力的理论保证，并在理论复杂度与实际运行速度上均优于现有sFFT算法。
• 复数BCH码的使用实现了高效的混叠解析，基于矩的求根方法可从低采样率数据中准确估计频率与幅度。