[论文解读] Sparse graphs without linear anticomplete pairs

Maria Chudnovsky, Alex Scott+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文证明，每个稀疏图要么包含某个给定图 H 的诱导细分，要么包含两个线性规模的顶点集且其间无边相连。作为推论，不含大团或大稳定集的图必须包含 H 或其补图的诱导细分，从而推进了稀疏图情形下的 Erdos-Hajnal 猜想。

ABSTRACT

We prove that for every graph H there exists c>0 such that, for every graph G, if G has no clique or stable set of size |G|^c, then either G or its complement contains an induced subdivision of H. This follows from a stronger result for sparse graphs which says, roughly, that every sparse graph contains either an induced subdivision of H or two linear-sized sets of vertices with no edges between them. These results are related to the Erdos-Hajnal conjecture.

研究动机与目标

• 研究稀疏图在诱导子图关系下的结构性质。
• 通过聚焦于固定图 H 的诱导细分，解决 Erdos-Hajnal 猜想。
• 在稀疏图中建立二分性：要么存在诱导 H-细分，要么存在两组大独立集。
• 证明不含大团或稳定集的图在 G 或其补图中必包含诱导 H-细分。

提出的方法

• 使用极值图论技术分析稀疏图，以识别结构性二分性。
• 应用分解论证，将顶点集划分为大独立对，或检测诱导 H-细分。
• 使用归纳法和基于密度的论证，控制 G 中团和稳定集的增长。
• 利用稀疏设定下的 Erdos-Hajnal 性质，推导出诱导细分的存在性。
• 将大同质集合的缺失转化为有利于诱导子图的结构性约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个稀疏图是否要么包含某个固定图 H 的诱导细分，要么包含两组线性规模的独立集？
• RQ2 Erdos-Hajnal 猜想能否推广到不含大团或稳定集的图中的诱导细分？
• RQ3 在避免大同质集合时，稀疏图中会浮现何种结构性二分性？
• RQ4 大团和稳定集的缺失如何强制 G 或其补图中出现诱导 H-细分？

主要发现

• 对每个图 H，存在 c > 0，使得任意图 G 若不包含大小为 |G|^c 的团或稳定集，则在 G 或其补图中必存在 H 的诱导细分。
• 在稀疏图中，要么存在诱导 H-细分，要么存在两组无边相连的线性规模顶点集。
• 该结果在所有图 H 上均保持一致的结构性二分性。
• 证明给出了独立数或团数的定量界，其形式为 |G|^c（c > 0）。