[论文解读] Sparse Identification of Nonlinear Dynamics with Control (SINDYc)

Steven L. Brunton, Joshua L. Proctor+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2016

Model Reduction and Neural Networks参考文献 27被引用 71

一句话总结

本文提出 SINDYc，一种用于具有外部输入和反馈控制的非线性动力系统的稀疏识别方法，通过稀疏回归将 SINDY 框架扩展至包含输入相关项。该方法能从含控制输入的数据中准确识别控制方程，在洛伦兹系统与洛特卡-沃尔泰拉系统中即使在受力和反馈控制条件下也能实现机器精度的恢复。

ABSTRACT

Identifying governing equations from data is a critical step in the modeling and control of complex dynamical systems. Here, we investigate the data-driven identification of nonlinear dynamical systems with inputs and forcing using regression methods, including sparse regression. Specifically, we generalize the sparse identification of nonlinear dynamics (SINDY) algorithm to include external inputs and feedback control. This method is demonstrated on examples including the Lotka-Volterra predator--prey model and the Lorenz system with forcing and control. We also connect the present algorithm with the dynamic mode decomposition (DMD) and Koopman operator theory to provide a broader context.

研究动机与目标

• 将 SINDY 算法扩展至识别包含外部输入和控制信号的非线性动力系统。
• 在数据驱动建模中区分控制输入与系统内在动力学的影响。
• 开发一种基于回归的框架，推广 DMD、DMDc 和 Koopman 理论，适用于含输入的非线性系统。
• 实现对训练期间未见的新控制输入下系统响应的准确预测。
• 为高维、非线性且多尺度的含控系统提供可扩展的稀疏回归系统辨识方法

提出的方法

• 将 SINDY 的候选非线性项库扩展，以包含状态变量 **x** 和控制输入 **u** 的函数，包括交叉项如 x_i * u_j。
• 使用稀疏回归（Lasso 类优化）识别最能拟合时间导数数据的最小非线性项集合，平衡稀疏性与准确性。
• 通过有限差分或其他数值微分方法，从时间解析的状态测量中估计 d**x**/dt，将该方法应用于连续时间系统。
• 将控制输入纳入控制方程中，表示为 d**x**/dt = **f**( **x**, **u** )，其中 **f** 被建模为 **x** 和 **u** 的基函数的稀疏组合。
• 在控制输入中加入加性噪声或扰动，以在反馈控制场景中有效区分控制影响与内部动力学，尤其在反馈控制情况下。
• 将 SINDYc 与 Koopman 算子理论及 DMDc 关联，表明三者均为基于数据的回归系统辨识的特例

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将非线性动力学的稀疏识别（SINDY）方法扩展至具有外部输入和反馈控制的系统？
• RQ2 在数据驱动建模中，如何区分控制输入与系统内在动力学的影响？
• RQ3 SINDYc 在识别受迫和状态反馈控制的非线性系统的控制方程方面表现如何？
• RQ4 当控制输入存在但被忽略时，SINDYc 与标准 SINDY 相比表现如何？
• RQ5 SINDYc 是否能推广至训练期间未使用的新控制输入？

主要发现

• SINDYc 在无噪声条件下成功识别了受外部强迫的洛特卡-沃尔泰拉捕食者-猎物系统的真正控制方程，实现了机器精度的准确性。
• 对于受外部强迫（g(u) = u³）的洛伦兹系统，SINDYc 正确恢复了非线性输入项，并以高保真度预测了系统行为。
• 在反馈控制场景中（例如 u(t) = 26 - x(t) + d(t)），SINDYc 准确识别了控制律与系统动力学，而标准 SINDY 因混淆效应而失效。
• 在 20 个时间单位的受控数据上进行训练后，SINDYc 正确预测了系统对新周期性强迫（u(t) = 50 sin(10t)）的响应，该强迫在训练期间未出现。
• 在控制输入中引入加性白噪声可有效区分控制影响与内部动力学，提升了模型可辨识性。
• SINDYc 在含控洛伦兹系统中实现了机器精度的参数恢复，展示了在真实数据条件下具备鲁棒性与高精度