[论文解读] Sparse image reconstruction on the sphere: a general approach with uncertainty quantification

Matt A. Price, Luke Pratley+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2021

Medical Imaging Techniques and Applications参考文献 51被引用 4

一句话总结

本文提出了一种通用且灵活的框架，用于在球面上使用变分方法进行稀疏图像重建，并实现有原则的不确定性量化（UQ）。通过利用无约束优化的贝叶斯解释并利用线性性质，该方法实现了快速、可解析处理的不确定性量化——例如像素级可信区间——适用于多种反问题，如图像修补、去卷积和暗物质映射。

ABSTRACT

Inverse problems defined naturally on the sphere are becoming increasingly of interest. In this article we provide a general framework for evaluation of inverse problems on the sphere, with a strong emphasis on flexibility and scalability. We consider flexibility with respect to the prior selection (regularization), the problem definition - specifically the problem formulation (constrained/unconstrained) and problem setting (analysis/synthesis) - and optimization adopted to solve the problem. We discuss and quantify the trade-offs between problem formulation and setting. Crucially, we consider the Bayesian interpretation of the unconstrained problem which, combined with recent developments in probability density theory, permits rapid, statistically principled uncertainty quantification (UQ) in the spherical setting. Linearity is exploited to significantly increase the computational efficiency of such UQ techniques, which in some cases are shown to permit analytic solutions. We showcase this reconstruction framework and UQ techniques on a variety of spherical inverse problems. The code discussed throughout is provided under a GNU general public license, in both C++ and Python.

研究动机与目标

• 解决天体物理学、地球物理学和生物医学成像等领域中对球面上稳健反问题解决方案日益增长的需求。
• 通过将贝叶斯推断与稀疏优化相结合，克服传统变分方法缺乏不确定性量化的问题。
• 开发一种可扩展、灵活的框架，支持多种问题形式（有约束/无约束）和设置（分析/合成）。
• 利用概率密度理论的最新进展，为球面上的反问题提供统计上有原则且计算高效的不确定性量化。
• 提供开源、高性能的软件（S2INV），以支持研究社区中的可重现性和广泛采用。

提出的方法

• 在分析和合成设置下建立球面上的反问题，使用带有稀疏促进先验（例如小波上的ℓ₁-范数）的无约束优化。
• 将无约束问题解释为贝叶斯MAP估计，从而实现有原则的后验推断和不确定性量化。
• 利用前向模型和后验结构中的线性性质，通过一维多项式根求解加速不确定性量化，使关键情况下实现解析或近似解析解。
• 利用快速球谐变换和球面小波变换，高效处理高维球面参数空间中的计算。
• 实现近端前向-后向算法，用于求解具有收敛性保证的不可微稀疏正则化问题。
• 整合近期概率密度理论中的不确定性量化技术，以计算局部可信区间并在球面上执行假设检验。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在稀疏球面图像重建中高效且具有统计原则地量化不确定性？
• RQ2 在球面上的反问题中，分析与合成形式之间的相对优势和权衡是什么？
• RQ3 在有约束与无约束优化之间进行选择，如何影响重建保真度和不确定性量化？
• RQ4 在哪些情况下，通过线性性质可将不确定性量化简化为计算上微不足道的问题？
• RQ5 所提出的框架能否推广至多种球面上的反问题，如图像修补、去卷积和去噪？

主要发现

• 无约束优化的贝叶斯解释使得实现有原则的不确定性量化成为可能，包括像素级误差条，而无需昂贵的采样方法。
• 前向模型和后验结构中的线性性质使得不确定性量化的速度大幅提升，许多情况下可简化为一维多项式根求解。
• 在多个重要情况下，不确定性量化可实现解析求解，显著提高计算效率，优于蒙特卡洛或基于采样的方法。
• 该框架在弱引力透镜剪切重建和暗物质质量映射等具有挑战性的应用中达到了最先进性能。
• 所提出的S2INV软件包已公开发布，采用GNU GPL许可，支持研究中的可重现性和广泛采用。
• 在分析与合成设置之间，以及有约束与无约束形式之间的最优选择，高度依赖于具体问题和上下文。