[论文解读] Sparse Legendre expansions via $\ell_1$ minimization

Holger Rauhut, Rachel Ward|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2010

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 36被引用 5

一句话总结

该论文证明了，通过在 $[-1,1]$ 上按照切比雪夫测度随机抽取 $ m acksimeq s\log^4 N $ 个样本，可以利用 $\ell_1$-最小化准确恢复稀疏勒让德多项式展开。关键贡献在于证明了预条件化勒让德矩阵的限制等距性质（RIP），从而实现了即使在基函数在端点附近无界的情况下仍能稳健恢复，且将结果推广至雅可比多项式以及无限维函数空间中的函数逼近。

ABSTRACT

We consider the problem of recovering polynomials that are sparse with respect to the basis of Legendre polynomials from a small number of random samples. In particular, we show that a Legendre s-sparse polynomial of maximal degree N can be recovered from m = O(s log^4(N)) random samples that are chosen independently according to the Chebyshev probability measure. As an efficient recovery method, l1-minimization can be used. We establish these results by verifying the restricted isometry property of a preconditioned random Legendre matrix. We then extend these results to a large class of orthogonal polynomial systems, including the Jacobi polynomials, of which the Legendre polynomials are a special case. Finally, we transpose these results into the setting of approximate recovery for functions in certain infinite-dimensional function spaces.

研究动机与目标

• 开发一种可证明鲁棒的方法，从少量随机样本中恢复 $s$-稀疏勒让德多项式展开。
• 克服先前压缩感知结果中对基函数一致有界的限制，允许使用如勒让德多项式这类无界的正交系统。
• 为具有 $\ell_p$-可 summable 傅里叶-勒让德系数（$0 < p < 1$）的无限维函数空间中的函数建立恢复保证。
• 通过使用通用采样测度（切比雪夫测度）将框架扩展至包括雅可比多项式在内的广泛正交多项式类。
• 证明预条件化可使非一致有界基函数的随机采样矩阵满足限制等距性质（RIP）。

提出的方法

• 使用 $\ell_1$-最小化从按照切比雪夫测度 $d\nu(x) = \pi^{-1}(1-x^2)^{-1/2}dx$ 采样的随机样本中恢复稀疏勒让德系数向量。
• 证明预条件化随机勒让德矩阵的限制等距性质（RIP），其中预条件化处理了勒让德多项式在 $\pm1$ 附近无界的问题。
• 应用压缩感知中的已知结果，特别是带噪声的 $\ell_1$-最小化，推导在采样和噪声模型下的误差界。
• 利用施泰奇金估计和 $\ell_p$-可 summable 系数的性质，界定函数空间中的近似误差。
• 通过验证切比雪夫测度在采样中仍为最优，将结果推广至张量积多变量多项式和雅可比多项式。
• 使用快速勒让德变换算法，确保在高维设置下的计算可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当基函数在定义域端点附近无界时，能否从子线性数量的随机样本中恢复稀疏勒让德多项式展开？
• RQ2 $\ell_1$-最小化在违反一致有界性的正交多项式基上进行压缩感知时是否依然有效？
• RQ3 能否通过预条件化，为具有非一致有界基函数的随机采样矩阵建立限制等距性质？
• RQ4 切比雪夫测度是否在不同权函数下对正交多项式展开的压缩感知中均为通用最优采样测度？
• RQ5 该恢复框架能否扩展至具有 $\ell_p$-可 summable 系数的无限维函数空间中的函数近似？

主要发现

• 以高概率，一个 $N$ 次的勒让德 $s$-稀疏多项式可从 $m \asymp s\log^4 N$ 个按切比雪夫测度随机抽取的样本中精确恢复。
• 预条件化随机勒让德矩阵满足限制等距性质（RIP），从而支持稳定 $\ell_1$-最小化恢复。
• 该方法可扩展至雅可比多项式及其他具有紧台集权函数且满足温和连续性条件的正交系统。
• 对于 $A_q \cap A_{1,\alpha}$ 中的函数，若其傅里叶-勒让德系数为 $\ell_p$-可 summable（$0 < p < 1$），则可实现近似最优的逼近，误差为 $\mathcal{O}(s^{1-1/q})$。
• 恢复具有 $s$-稀疏勒让德展开的函数所需的样本数为 $m \asymp s\log^3 s \log N$，误差界为 $\mathcal{O}(s^{1-1/q})$。
• 切比雪夫测度对该类正交多项式是通用的，即无论具体权函数为何，其均为最优采样测度。