[论文解读] Sparse Linear-Quadratic Feedback Design Using Affine Approximation

MirSaleh Bahavarnia|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2015

Advanced Adaptive Filtering Techniques参考文献 19被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种用于稀疏线性二次反馈控制设计的迭代算法，通过仿射逼近和舒尔补技术对 $\alpha$-正则化 LQ 问题进行凸化。该方法将非凸、NP-难的稀疏性促进 LQR 问题转化为一系列凸半定规划（SDP），在性能和稀疏性模式方面均优于现有方法。

ABSTRACT

We consider a class of $\ell_0$-regularized linear-quadratic (LQ) optimal control problems. This class of problems is obtained by augmenting a penalizing sparsity measure to the cost objective of the standard linear-quadratic regulator (LQR) problem in order to promote sparsity pattern of the state feedback controller. This class of problems is generally NP hard and computationally intractable. First, we apply a $\ell_1$-relaxation and consider the $\ell_1$-regularized LQ version of this class of problems, which is still nonconvex. Then, we convexify the resulting $\ell_1$-regularized LQ problem by applying affine approximation techniques. An iterative algorithm is proposed to solve the $\ell_1$-regularized LQ problem using a series of convexified $\ell_1$-regularized LQ problems. By means of several numerical experiments, we show that our proposed algorithm is comparable to the existing algorithms in the literature, and in some cases it even returns solutions with superior performance and sparsity pattern.

研究动机与目标

• 解决带有稀疏性促进 $∥K∥_{\ell_0}$ 项的 $\alpha$-正则化 LQ 最优控制问题的计算不可行性。
• 通过李雅普诺夫方程中非线性项的仿射逼近，对非凸 $\alpha$-正则化 LQ 问题进行凸化。
• 开发一种迭代算法，通过求解一系列凸化子问题来近似稀疏反馈增益。
• 与 [2] 中的现有算法相比，实现更优的稀疏性模式和性能。

提出的方法

• 对原始 $\ell_0$-正则化 LQ 问题应用 $\ell_1$-松弛，将非凸的稀疏性项转化为凸的 $\ell_1$-范数。
• 使用仿射逼近线性化李雅普诺夫方程中的非线性项，从而实现 $\ell_1$-正则化问题的凸化。
• 采用舒尔补技术将所得的非凸约束重写为适合 SDP 求解器（如 CVX）的线性矩阵不等式（LMI）形式。
• 引入辅助变量 $F$、$P$ 和 $Y$，以分解并凸化涉及 $K$ 和 $X$ 的双线性项。
• 迭代求解一系列凸 SDP，每一步更新逼近，以收敛至稀疏反馈增益 $K$。
• 通过强制 $X \succeq \epsilon_1 I$ 确保在 CVX 兼容形式下具有严格的正定性，以保证数值稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 仿射逼近能否有效凸化具有非线性李雅普诺夫约束的非凸 $\ell_1$-正则化 LQ 问题？
• RQ2 迭代凸化方法是否能产生相比现有方法具有更优稀疏性和性能的反馈控制器？
• RQ3 在空间衰减系统中，该算法表现如何，其中稀疏性预期与系统结构一致？
• RQ4 与最先进算法相比，计算成本与解质量之间的权衡如何？

主要发现

• 所提算法得到的二次型代价为稀疏性促进 LQR 问题真实最优解的上界。
• 数值实验表明，该方法在某些情况下产生的解具有优于 [2] 中算法的稀疏性模式和性能。
• 该方法在性能上与现有算法相当，但算法结构更简单。
• 对于空间衰减系统，所得反馈增益矩阵表现出与底层系统动力学一致的稀疏性模式。
• 该算法比 [2] 慢，但其优势在于解决方案过程更具结构性且可解释性更强。
• 采用仿射逼近与舒尔补技术，使得问题可转化为一系列可通过标准工具（如 CVX）求解的凸 SDP。