[论文解读] Sparse Phase Retrieval: Convex Algorithms and Limitations

Kishore Jaganathan, Samet Oymak+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2013

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 18被引用 20

一句话总结

本文提出了一种重加权 $\ell_1$-最小化算法用于稀疏相位恢复，能够从 $\mathcal{O}(k^2\log n)$ 个无相位傅里叶测量中成功恢复 $k$-稀疏信号，克服了现有凸方法的 $o(\sqrt{n})$ 稀疏性瓶颈。此外，研究进一步表明，通过精心设计的测量矩阵，仅需 $\mathcal{O}(k\log n)$ 个测量即可实现恢复，达到了近似最优的样本复杂度。

ABSTRACT

We consider the problem of recovering signals from their power spectral density. This is a classical problem referred to in literature as the phase retrieval problem, and is of paramount importance in many fields of applied sciences. In general, additional prior information about the signal is required to guarantee unique recovery as the mapping from signals to power spectral density is not one-to-one. In this paper, we assume that the underlying signals are sparse. Recently, semidefinite programming (SDP) based approaches were explored by various researchers. Simulations of these algorithms strongly suggest that signals upto $o(\sqrt{n})$ sparsity can be recovered by this technique. In this work, we develop a tractable algorithm based on reweighted $l_1$-minimization that recovers a sparse signal from its power spectral density for significantly higher sparsities, which is unprecedented. We discuss the square-root bottleneck of the existing convex algorithms and show that a $k$-sparse signal can be efficiently recovered using $O(k^2logn)$ phaseless Fourier measurements. We also show that a $k$-sparse signal can be recovered using only $O(k log n)$ phaseless measurements if we are allowed to design the measurement matrices.

研究动机与目标

• 克服现有凸相位恢复算法中固有的 $o(\sqrt{n})$ 稀疏性瓶颈，该瓶颈限制了仅能恢复满足 $k \ll \sqrt{n}$ 的信号。
• 开发一种可计算的、类似凸优化的算法，基于重加权 $\ell_1$-最小化，以实现对超过 $o(\sqrt{n})$ 阈值的 $k$-稀疏信号的恢复。
• 证明通过结构化测量设计，$k$-稀疏信号可仅使用 $\mathcal{O}(k\log n)$ 个无相位测量实现恢复，接近最优样本复杂度。
• 从理论和实验两方面比较重加权 $\ell_1$-最小化与现有基于SDP和交替投影算法的性能。

提出的方法

• 本文将相位恢复问题表述为一个非凸可行性问题，并通过矩阵 $\mathbf{X} = \mathbf{x}\mathbf{x}^T$ 提升到更高维空间，以实现凸松弛。
• 提出一种重加权 $\ell_1$-最小化算法，通过迭代地优化 $\ell_1$-范数惩罚项，以在信号恢复过程中促进稀疏性。
• 该方法使用 $\mathcal{O}(k^2\log n)$ 个无相位傅里叶测量来恢复 $k$-稀疏信号，显著优于标准SDP方法的 $o(\sqrt{n})$ 稀疏性限制。
• 为实现最优测量效率，本文提出一种基于随机向量的组合测量设计，其具有稀疏支持和独立同分布的相位分量，从而实现仅需 $\mathcal{O}(k\log n)$ 个测量的恢复。
• 恢复算法的时间复杂度为 $O(mn)$，其中 $m$ 为测量数，在所提出的测量模型下，该算法以高概率成功。
• 通过概率论证推导出理论保证，表明当 $m \geq ck\log n$（$c>0$ 为某常数）时，$k$-稀疏信号可高概率被恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 重加权 $\ell_1$-最小化能否克服现有凸相位恢复算法中固有的 $o(\sqrt{n})$ 稀疏性瓶颈？
• RQ2 使用凸松弛技术稳定恢复 $k$-稀疏信号所需的最少无相位傅里叶测量数是多少？
• RQ3 结构化测量设计能否将所需无相位测量数减少至 $\mathcal{O}(k\log n)$，同时确保高概率恢复？
• RQ4 重加权 $\ell_1$-最小化在稀疏性恢复阈值方面，与基于SDP和交替投影算法相比表现如何？

主要发现

• 重加权 $\ell_1$-最小化算法能够从 $\mathcal{O}(k^2\log n)$ 个无相位傅里叶测量中成功恢复 $k$-稀疏信号，显著超越标准凸方法的 $o(\sqrt{n})$ 稀疏性限制。
• 通过精心设计的测量系统，$k$-稀疏信号可仅使用 $\mathcal{O}(k\log n)$ 个无相位测量实现恢复，达到近似最优的样本复杂度。
• 数值模拟表明，所提算法在性能上优于现有基于SDP的方法（CandesPR、HassibiPR）和交替投影（GS）算法，尤其在超过 $o(\sqrt{n})$ 稀疏性阈值时表现更优。
• 理论分析证实，所提出的组合测量设计可在测量数满足 $m \geq ck\log n$（$c>0$ 为某常数）时，实现 $k$-稀疏信号的高概率恢复。
• 该算法对未知稀疏度水平具有鲁棒性，可通过考虑多个稀疏度水平 $k_i = 2^i$ 来适应任意 $k$，总测量数仅需 $\mathcal{O}(k\log^2 n)$。
• 本文建立了可计算凸算法与不可计算组合搜索之间的性能差距，表明通过结构化设计可实现最优测量效率。