[论文解读] Sparse Phase Retrieval: Uniqueness Guarantees and Recovery Algorithms

Kishore Jaganathan, Samet Oymak+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2013

Advanced X-ray Imaging Techniques被引用 9

一句话总结

该论文提出了一种两阶段稀疏相位恢复算法（TSPR），可在使用 $2n$-点 DFT 的情况下，唯一地从其傅里叶模值测量中恢复出 $O(n^{1/2-\rho})$-稀疏信号，恢复结果在全局相位、时移和共轭翻转意义下唯一。该方法证明了几乎所有非周期性支持的信号在此条件下均可唯一恢复，并在噪声环境下对 $O(n^{1/4-\rho})$-稀疏信号实现了鲁棒恢复。

ABSTRACT

The problem of signal recovery from its Fourier transform magnitude is of paramount importance in various fields of engineering and has been around for over 100 years. Due to the absence of phase information, some form of additional information is required in order to be able to uniquely identify the signal of interest. In this work, we focus our attention on discrete-time sparse signals (of length $n$). We first show that, if the DFT dimension is greater than or equal to $2n$, almost all signals with {\em aperiodic} support can be uniquely identified by their Fourier transform magnitude (up to time-shift, conjugate-flip and global phase). Then, we develop an efficient Two-stage Sparse Phase Retrieval algorithm (TSPR), which involves: (i) identifying the support, i.e., the locations of the non-zero components, of the signal using a combinatorial algorithm (ii) identifying the signal values in the support using a convex algorithm. We show that TSPR can {\em provably} recover most $O(n^{1/2-\eps})$-sparse signals (up to a time-shift, conjugate-flip and global phase). We also show that, for most $O(n^{1/4-\eps})$-sparse signals, the recovery is {\em robust} in the presence of measurement noise. Numerical experiments complement our theoretical analysis and verify the effectiveness of TSPR.

研究动机与目标

• 在 DFT 维度至少为 $2n$ 的条件下，为非周期性支持下的稀疏相位恢复建立唯一性保证。
• 开发一种高效的两阶段算法（TSPR），将支持检测与振幅恢复分离。
• 为 TSPR 提供理论恢复保证，涵盖无噪声和有噪声两种情形。
• 证明 TSPR 可以可证明地恢复绝大多数 $O(n^{1/2-\rho})$-稀疏信号，并在加性噪声下鲁棒地恢复 $O(n^{1/4-\rho})$-稀疏信号。
• 使用概率分析刻画可恢复信号的集合，鉴于确定性刻画的困难性。

提出的方法

• 采用两阶段方法：首先，通过组合算法识别稀疏信号的支持集（非零位置）。
• 其次，通过凸优化程序在已识别的支持集内利用自相关约束恢复信号值。
• 采用图论构造 $H(U)$ 来建模信号值恢复，其中边表示可测量的自相关对。
• 应用半定规划在噪声自相关约束下最小化迹，以确保鲁棒性。
• 利用随机子集 $V$ 中整数对存在的概率界来分析恢复成功率。
• 应用 AM-GM 不等式和半正定性约束，推导出恢复矩阵对角分量的误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有非周期性支持的稀疏信号可从其傅里叶模值中唯一恢复？
• RQ2 两阶段算法能否实现对 $O(n^{1/2-\rho})$-稀疏信号的可证明恢复，其测量基于 $2n$-点 DFT？
• RQ3 恢复对加性噪声的鲁棒性如何？TSPR 在何种稀疏度水平下保持稳定性？
• RQ4 在随机信号模型下，恢复算法的成功概率是多少？
• RQ5 恢复误差能否以噪声水平和信号稀疏度表示？

主要发现

• 几乎所有长度为 $n$ 的非周期性支持信号，均可从其 $2n$-点 DFT 模值中唯一恢复，恢复结果在全局相位、时移和共轭翻转意义下唯一。
• 在无噪声情况下，TSPR 可证明地恢复绝大多数 $O(n^{1/2-\rho})$-稀疏信号，其中 $\rho > 0$。
• 对于 $O(n^{1/4-\rho})$-稀疏信号，TSPR 在加性噪声下可确保鲁棒恢复，恢复误差被限制在 $O(k^2 \eta^2)$ 内，其中 $k$ 为稀疏度，$\eta$ 为噪声水平。
• 随着 $n$ 增大，TSPR 的成功率趋近于 1，原因在于稀疏信号下图 $H(U)$ 成为团的概率极高。
• 恢复信号值的误差满足 $||\mathbf{X}^\dagger - \mathbf{x}_0\mathbf{x}_0^\star||_2^2 \leq 16k^2\eta^2$，确保了在噪声下的稳定性。
• 理论保证为渐近且基于概率，依赖于信号支持和噪声的随机模型。