[论文解读] Sparse Spikes Deconvolution on Thin Grids

Vincent Duval, Gabriel Peyré|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 26被引用 14

一句话总结

本文分析了在细网格上稀疏脉冲反卷积的Lasso与连续基追踪（C-BP）方法的支持恢复性能。在噪声较小时，两种方法均因每个真实脉冲周围形成两个邻近脉冲而恢复约两倍于原始脉冲数量的脉冲，这一现象由最小范数对偶证书的扩展支持所决定。该分析为压缩感知在测量数低于临界阈值时的不稳定性提供了统一的理论框架。

ABSTRACT

This article analyzes the recovery performance of two popular finite dimensional approximations of the sparse spikes deconvolution problem over Radon measures. We examine in a unified framework both the L1 regularization (often referred to as Lasso or Basis-Pursuit) and the Continuous Basis-Pursuit (C-BP) methods. The Lasso is the de-facto standard for the sparse regularization of inverse problems in imaging. It performs a nearest neighbor interpolation of the spikes locations on the sampling grid. The C-BP method, introduced by Ekanadham, Tranchina and Simoncelli, uses a linear interpolation of the locations to perform a better approximation of the infinite-dimensional optimization problem, for positive measures. We show that, in the small noise regime, both methods estimate twice the number of spikes as the number of original spikes. Indeed, we show that they both detect two neighboring spikes around the locations of an original spikes. These results for deconvolution problems are based on an abstract analysis of the so-called extended support of the solutions of L1-type problems (including as special cases the Lasso and C-BP for deconvolution), which are of an independent interest. They precisely characterize the support of the solutions when the noise is small and the regularization parameter is selected accordingly. We illustrate these findings to analyze for the first time the support instability of compressed sensing recovery when the number of measurements is below the critical limit (well documented in the literature) where the support is provably stable.

研究动机与目标

• 分析细网格上稀疏脉冲反卷积的有限维近似方法的支持恢复性能。
• 比较Lasso（ℓ¹正则化）与连续基追踪（C-BP）方法在脉冲检测精度方面的表现。
• 解释为何两种方法检测到的脉冲数量约为原始测度中脉冲数量的两倍。
• 建立小噪声和适当正则化条件下ℓ¹型解的扩展支持的理论框架。
• 研究当测量数低于临界极限时，压缩感知恢复的不稳定性。

提出的方法

• 使用统一框架分析ℓ¹型优化问题（包括Lasso与C-BP）解的扩展支持。
• 将最小范数对偶证书η₀ = A*p₀定义为表征小噪声极限下解支持的关键要素。
• 应用源条件（对偶证书条件）以确定解是否可识别，并分析其支持行为。
• 通过扩展支持集ext(a₀) = {j : |(η₀)j| = 1}分析Lasso与C-BP问题解的支持。
• 推导出解因最小范数证书的结构而每原始脉冲恢复两个脉冲的条件。
• 将先前关于稀疏恢复的研究扩展至包含最近邻（Lasso）与线性插值（C-BP）的基于网格的近似方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在细网格上，Lasso与C-BP方法恢复的脉冲数量约为原始测度中脉冲数量的两倍？
• RQ2 在小噪声条件下，最小范数对偶证书如何控制ℓ¹正则化解的扩展支持？
• RQ3 在何种条件下可确保恢复解的支持稳定且可识别？
• RQ4 Lasso与C-BP的扩展支持有何差异，这对脉冲定位意味着什么？
• RQ5 测量数在多大程度上影响压缩感知中支持恢复的稳定性，特别是在临界阈值以下？

主要发现

• 在小噪声条件下，Lasso与C-BP方法均恢复约两倍于原始脉冲数量的脉冲，即每个真实脉冲检测到两个邻近脉冲。
• 解的扩展支持（定义为最小范数对偶证书绝对值为1的索引集合）解释了脉冲检测数量的加倍现象。
• 最小范数对偶证书η₀ = A*p₀在小噪声条件下唯一决定了ℓ¹正则化解的支持行为。
• 压缩感知在测量数低于临界极限时出现的支持不稳定性，可被解析地关联至扩展支持结构与对偶证书。
• 该分析为压缩感知中测量不足时广泛记录的支持不稳定性现象提供了理论解释。
• 由于受相同由扩展支持决定的底层机制影响，Lasso与C-BP在脉冲检测中表现出相似的定性失效模式。