[论文解读] Sparse sum-of-squares certificates on finite abelian groups

Hamza Fawzi, James Saunderson+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文建立了有限阿贝尔群上非负函数在傅里叶基下稀疏时，其非负性可被稀疏和平方（SOS）证书所证明的组合条件。通过构造与傅里叶支撑相关的凯莱图的弦图覆盖，作者导出了SOS表示稀疏性的显式界，证明了任意在 $\mathbb{Z}_2^n$ 上的非负二次型均可表示为次数至多 $\lceil n/2 \rceil$ 的函数的平方和，且在 $\mathbb{Z}_N$ 上的 $d$ 次非负函数可拥有最多含 $3d\log(N/d)$ 个傅里叶系数的SOS证书。

ABSTRACT

Let G be a finite abelian group. This paper is concerned with nonnegative functions on G that are sparse with respect to the Fourier basis. We establish combinatorial conditions on subsets S and T of Fourier basis elements under which nonnegative functions with Fourier support S are sums of squares of functions with Fourier support T. Our combinatorial condition involves constructing a chordal cover of a graph related to G and S (the Cayley graph Cay($\hat{G}$,S)) with maximal cliques related to T. Our result relies on two main ingredients: the decomposition of sparse positive semidefinite matrices with a chordal sparsity pattern, as well as a simple but key observation exploiting the structure of the Fourier basis elements of G. We apply our general result to two examples. First, in the case where $G = \mathbb{Z}_2^n$, by constructing a particular chordal cover of the half-cube graph, we prove that any nonnegative quadratic form in n binary variables is a sum of squares of functions of degree at most $\lceil n/2 ceil$, establishing a conjecture of Laurent. Second, we consider nonnegative functions of degree d on $\mathbb{Z}_N$ (when d divides N). By constructing a particular chordal cover of the d'th power of the N-cycle, we prove that any such function is a sum of squares of functions with at most $3d\log(N/d)$ nonzero Fourier coefficients. Dually this shows that a certain cyclic polytope in $\mathbb{R}^{2d}$ with N vertices can be expressed as a projection of a section of the cone of psd matrices of size $3d\log(N/d)$. Putting $N=d^2$ gives a family of polytopes $P_d \subset \mathbb{R}^{2d}$ with LP extension complexity $ ext{xc}_{LP}(P_d) = Ω(d^2)$ and SDP extension complexity $ ext{xc}_{PSD}(P_d) = O(d\log(d))$. To the best of our knowledge, this is the first explicit family of polytopes in increasing dimensions where $ ext{xc}_{PSD}(P_d) = o( ext{xc}_{LP}(P_d))$.

研究动机与目标

• 确定在傅里叶基下稀疏的非负函数何时可拥有同样稀疏的和平方（SOS）证书。
• 识别傅里叶支撑 $\mathcal{S}$ 和 $\mathcal{T}$ 的组合条件，使得任意傅里叶支撑为 $\mathcal{S}$ 的非负函数均为傅里叶支撑为 $\mathcal{T}$ 的函数的平方和。
• 将一般框架应用于特定群，包括 $\mathbb{Z}_2^n$ 和 $\mathbb{Z}_N$，以推导SOS证书的显式稀疏性界。
• 构造显式多面体族，其线性规划（LP）扩展复杂度为超线性，半定规划（SDP）扩展复杂度为次二次，从而展示两者之间的分离。
• 解决劳伦特关于 $\mathbb{Z}_2^n$ 上非负二次型SOS证书次数的猜想。

提出的方法

• 从对偶群 $\widehat{G}$ 和傅里叶支撑 $\mathcal{S}$ 构造凯莱图 $\operatorname{Cay}(\widehat{G}, \mathcal{S})$，其中连接相差于 $\mathcal{S}$ 中元素的特征。
• 构建凯莱图 $\operatorname{Cay}(\widehat{G}, \mathcal{S})$ 的弦图覆盖 $\Gamma$，其中每个最大团对应于 $\widehat{G}$ 的子集 $\mathcal{C}$。
• 对每个最大团 $\mathcal{C}$，选取代表元 $\chi_{\mathcal{C}} \in \widehat{G}$，并定义平移集 $\chi_{\mathcal{C}}\mathcal{C}$，从而形成集合 $\mathcal{T}(\Gamma, \{\chi_{\mathcal{C}}\})$。
• 利用具有弦图稀疏模式的稀疏正定矩阵的分解，确保任意傅里叶支撑为 $\mathcal{S}$ 的非负函数均可拥有在 $\mathcal{T}$ 上支撑的SOS表示。
• 利用傅里叶基中特征的代数结构，将图论中的弦图覆盖与代数SOS分解联系起来。
• 将一般结果应用于两个关键情形：使用半立方图的递归三角剖分处理 $G = \mathbb{Z}_2^n$，以及使用 $N$-环图的 $d$ 次幂的三角剖分处理 $G = \mathbb{Z}_N$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在对偶群 $\widehat{G}$ 的子集 $\mathcal{S}$ 和 $\mathcal{T}$ 上，满足何种组合条件时，所有傅里叶支撑为 $\mathcal{S}$ 的非负函数均为傅里叶支撑为 $\mathcal{T}$ 的函数的平方和？
• RQ2 是否可以对 $\mathbb{Z}_2^n$ 上非负二次型的SOS证书次数进行有界？若可，所需的最小次数是多少？
• RQ3 在 $\mathbb{Z}_N$ 上，度数为 $d$ 的非负函数的SOS证书中，至少需要多少个非零傅里叶系数？
• RQ4 凯莱图的弦图覆盖构造是否可导出某些多面体扩展复杂性的显式界？
• RQ5 是否存在一族多面体，其半定规划扩展复杂度在渐近意义下小于线性规划扩展复杂度？

主要发现

• 任意在 $\mathbb{Z}_2^n$ 上的非负二次型均可使用次数至多 $\lceil n/2 \rceil$ 的函数构造SOS证书，从而证实了劳伦特的猜想。
• 对于 $\mathbb{Z}_N$ 上度数为 $d$ 的非负函数（当 $d$ 整除 $N$ 时），本文证明此类函数可拥有最多含 $3d\log(N/d)$ 个非零傅里叶系数的SOS证书。
• 该构造表明，$\mathbb{R}^{2d}$ 中具有 $N$ 个顶点的循环多面体的半定规划扩展复杂度为 $O(d\log(N/d))$。
• 当 $N = d^2$ 时，所得多面体的线性规划扩展复杂度为 $\Omega(d^2)$，而半定规划扩展复杂度为 $O(d\log d)$，从而确立了 $\operatorname{xc}_{\text{PSD}}(P_d) = o(\operatorname{xc}_{\text{LP}}(P_d))$。
• 这是首个在维度递增下，其SDP扩展复杂度渐近小于LP扩展复杂度的显式多面体族。
• 基于二进制或三进制展开的频率，对 $N$-环图进行递归三角剖分，可得到一族在 $N$ 上具有对数稀疏性的弦图覆盖。