[论文解读] Sparse Time Frequency Representations and Dynamical Systems

Thomas Y. Hou, Zuoqiang Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2013

Structural Health Monitoring Techniques参考文献 29被引用 7

一句话总结

本文通过证明每个本征模函数（IMF）均可与非线性二阶常微分方程（ODE）的解相关联，建立了数据驱动时频分析与二阶动力系统之间的理论联系。该方法在多项式基下采用稀疏优化来恢复 ODE 的系数，从而实现对信号分量非线性的程度量化，数值结果表明该方法对噪声具有鲁棒性。

ABSTRACT

In this paper, we establish a connection between the recently developed data-driven time-frequency analysis \cite{HS11,HS13-1} and the classical second order differential equations. The main idea of the data-driven time-frequency analysis is to decompose a multiscale signal into a sparsest collection of Intrinsic Mode Functions (IMFs) over the largest possible dictionary via nonlinear optimization. These IMFs are of the form $a(t) \cos(θ(t))$ where the amplitude $a(t)$ is positive and slowly varying. The non-decreasing phase function $θ(t)$ is determined by the data and in general depends on the signal in a nonlinear fashion. One of the main results of this paper is that we show that each IMF can be associated with a solution of a second order ordinary differential equation of the form $\ddot{x}+p(x,t)\dot{x}+q(x,t)=0$. Further, we propose a localized variational formulation for this problem and develop an effective $l^1$-based optimization method to recover $p(x,t)$ and $q(x,t)$ by looking for a sparse representation of $p$ and $q$ in terms of the polynomial basis. Depending on the form of nonlinearity in $p(x,t)$ and $q(x,t)$, we can define the degree of nonlinearity for the associated IMF. %and the corresponding coefficients for the associated highest order nonlinear terms. This generalizes a concept recently introduced by Prof. N. E. Huang et al. \cite{Huang11}. Numerical examples will be provided to illustrate the robustness and stability of the proposed method for data with or without noise. This manuscript should be considered as a proof of concept.

研究动机与目标

• 开发一种从数据中量化多尺度非平稳信号中非线性程度的方法。
• 建立本征模函数（IMF）与二阶常微分方程（ODE）之间的理论联系。
• 提供一种数据驱动的稀疏优化框架，用于从含噪信号中恢复 ODE 系数。
• 使单个信号分量可作为动力系统的解进行分析，同时保持其物理完整性。
• 提供一种在复杂信号中检测非线性的鲁棒稳定方法，尤其适用于生物医学和工程应用。

提出的方法

• 将 IMF 表述为如下形式的二阶 ODE 的解：$\ddot{x} + p(x,t)\dot{x} + q(x,t) = 0$。
• 提出一种局部变分公式，以实现在含噪数据中稳定地恢复系数。
• 应用基于 $l^1$ 的优化方法，以在多项式基函数中寻找 $p(x,t)$ 和 $q(x,t)$ 的稀疏表示。
• 提出一种基于 $p(x,t)$ 和 $q(x,t)$ 结构的非线性程度度量，推广了先前的概念。
• 采用类似 ENO 的重构技巧，以提高系数恢复的数值稳定性。
• 通过数值实验验证该方法在具有已知动力学特性的信号上的有效性，包括 Van der Pol 和谐波分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 数据驱动时频分析中的每个 IMF 是否都能与一个二阶 ODE 相关联？
• RQ2 如何利用其关联 ODE 的系数来量化 IMF 的非线性程度？
• RQ3 在多项式基下使用稀疏优化能否可靠地从含噪数据中恢复控制 ODE 的系数？
• RQ4 所提出的方法是否在实现非线性检测的同时保持了信号分量的物理完整性？
• RQ5 该方法对噪声和复杂信号组合的鲁棒性如何？

主要发现

• 即使在 10% 白噪声条件下，该方法仍能成功恢复控制信号 IMF 的 ODE 真实系数，如图 8 和图 10 所示。
• 恢复的非线性程度与精确值高度吻合，表明非线性量化具有高精度（见图 12 和图 13）。
• 引入类似 ENO 的重构技巧显著提高了系数恢复的稳定性，尤其是在噪声条件下。
• 对于由多个分量（如 Van der Pol、余弦、趋势和噪声）组成的信号，该方法能正确分离并分析每个 IMF 的动力学行为。
• 该方法能够检测复杂信号中的主导非线性，验证了其作为系统识别概念验证的有效性。
• 数值结果证实了该方法在各种信号类型和噪声水平下的鲁棒性与稳定性。