[论文解读] Sparsest Cut on Bounded Treewidth Graphs: Algorithms and Hardness Results

Anupam Gupta, Kunal Talwar+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 32被引用 15

一句话总结

本文提出了一种针对有界树宽图上非均匀最稀疏割问题的2-近似算法，时间复杂度为 $n^{O(k)}$，其中 $k$ 为树宽。该算法使用标准最稀疏割线性规划松弛的 $O(k\log n)$ 轮 Sherali-Adams 上升中的一小部分约束，随后采用传播舍入过程，证明即使经过多项式轮次的 Sherali-Adams，该方法也无法在近似因子上进一步改进，原因是在系列-并联图（树宽为2）上存在 $2 - \varepsilon$ 的整数规划间隙。

ABSTRACT

We give a 2-approximation algorithm for Non-Uniform Sparsest Cut that runs in time $n^{O(k)}$, where $k$ is the treewidth of the graph. This improves on the previous $2^{2^k}$-approximation in time $\poly(n) 2^{O(k)}$ due to Chlamtáč et al. To complement this algorithm, we show the following hardness results: If the Non-Uniform Sparsest Cut problem has a $ρ$-approximation for series-parallel graphs (where $ρ\geq 1$), then the Max Cut problem has an algorithm with approximation factor arbitrarily close to $1/ρ$. Hence, even for such restricted graphs (which have treewidth 2), the Sparsest Cut problem is NP-hard to approximate better than $17/16 - ε$ for $ε> 0$; assuming the Unique Games Conjecture the hardness becomes $1/α_{GW} - ε$. For graphs with large (but constant) treewidth, we show a hardness result of $2 - ε$ assuming the Unique Games Conjecture. Our algorithm rounds a linear program based on (a subset of) the Sherali-Adams lift of the standard Sparsest Cut LP. We show that even for treewidth-2 graphs, the LP has an integrality gap close to 2 even after polynomially many rounds of Sherali-Adams. Hence our approach cannot be improved even on such restricted graphs without using a stronger relaxation.

研究动机与目标

• 为有界树宽图上的非均匀最稀疏割问题设计一个时间复杂度为多项式时间的常数因子近似算法。
• 在 Chlamtac 等人 [CKR10] 提出的 $2^{2^k}$-近似算法（时间复杂度为 $\operatorname{poly}(n)2^{O(k)}$）基础上实现改进。
• 通过建立整数规划间隙下界，研究 Sherali-Adams 层次对最稀疏割问题的局限性。
• 通过从 MaxCut 的约化，建立在受限图类（特别是系列-并联图，树宽为2）上最稀疏割问题的困难性结果。
• 在唯一游戏假设下，探讨最稀疏割与 MaxCut 之间的联系，尤其关注常数树宽图的情形。

提出的方法

• 设计一种2-近似算法，求解标准最稀疏割线性规划松弛的 $O(k\log n)$ 轮 Sherali-Adams 上升中的一小部分约束，用于非均匀最稀疏割问题。
• 利用有界树宽图的树状结构，通过传播舍入过程将分数线性规划解转化为有效割。
• 从 MaxCut 实例构造到最稀疏割实例的约化，将 MaxCut 的整数规划间隙下界传递到最稀疏割问题。
• 证明对于任意 $\varepsilon > 0$，存在系列-并联图（树宽为2），其在 $n^{\delta}$ 轮 Sherali-Adams 松弛后仍具有 $2 - \varepsilon$ 的整数规划间隙，表明该方法存在固有局限性。
• 利用已知的 MaxCut 在 Sherali-Adams 层次下的整数规划间隙结果，通过定理6.4推导出最稀疏割问题的对应间隙。
• 在唯一游戏假设下，推导出强近似困难性结果，表明在树宽为2的图上，最稀疏割问题难以实现优于 $1/\alpha_{\text{GW}} - \varepsilon$ 的近似比，而在更大常数树宽图上，难以优于 $2 - \varepsilon$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $n$ 的多项式时间复杂度内，对有界树宽图实现非均匀最稀疏割问题的常数因子近似，且与 $k$ 无关？
• RQ2 在有界树宽图上，Sherali-Adams 层次对最稀疏割问题所能达到的最佳近似比是多少？
• RQ3 在多项式轮次后，Sherali-Adams 松弛在系列-并联图（树宽为2）上的整数规划间隙行为如何？
• RQ4 最稀疏割问题在有界树宽图上的困难性在多大程度上与 MaxCut 相当？该联系能否用于推导出强困难性结果？
• RQ5 唯一游戏假设是否意味着在常数树宽图上，最稀疏割问题具有超常数的近似困难性？

主要发现

• 本文提出了一种针对树宽为 $k$ 的图的非均匀最稀疏割问题的 $2$-近似算法，时间复杂度为 $n^{O(k)}$，优于 Chlamtac 等人 [CKR10] 提出的 $2^{2^k}$-近似算法（时间复杂度为 $\operatorname{poly}(n)2^{O(k)}$）。
• 该算法基于标准最稀疏割线性规划松弛的 $O(k\log n)$ 轮 Sherali-Adams 上升中的一小部分约束，随后采用传播舍入过程。
• 对于系列-并联图（树宽为2），即使在 $n^{\delta}$ 轮后，Sherali-Adams 松弛的整数规划间隙仍为 $2 - \varepsilon$，表明该方法无法通过更强的松弛实现改进。
• 若非均匀最稀疏割在系列-并联图上存在 $\rho$-近似算法，则 MaxCut 存在近似比可任意接近 $1/\rho$ 的算法，这意味着树宽为2的图上最稀疏割问题难以实现优于 $17/16 - \varepsilon$ 的近似。
• 在唯一游戏假设下，树宽为2图上最稀疏割问题的近似困难性为 $1/\alpha_{\text{GW}} - \varepsilon \approx 1.14$（因为 $\alpha_{\text{GW}} \approx 0.878$），而在更大常数树宽图上，困难性为 $2 - \varepsilon$。
• Sherali-Adams 层次的 $2 - \varepsilon$ 整数规划间隙在 $n^{\gamma}$ 轮后依然存在（$\gamma > 0$），表明该层次在这些图上无法实现优于2的近似比。