[论文解读] Sparsification of Directed Graphs via Cut Balance

Ruoxu Cen, Yu Cheng+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 45被引用 2

一句话总结

本文提出了一种新颖的框架，通过利用割平衡（cut balance）——即图割中方向不平衡的度量——对有向图进行稀疏化，从而实现近乎最优的割草图（cut sketches）和稀疏化器（sparsifiers）。该研究建立了紧致界，表明对于每个（for-each）稀疏化依赖于√β（其中β为平衡参数），而对所有（for-all）稀疏化则需要与β呈线性依赖，从而解决了有向图稀疏化领域长期存在的开放性问题，并在最大流证明中具有应用价值。

ABSTRACT

In this paper, we consider the problem of designing cut sparsifiers and sketches for directed graphs. To bypass known lower bounds, we allow the sparsifier/sketch to depend on the balance of the input graph, which smoothly interpolates between undirected and directed graphs. We give nearly matching upper and lower bounds for both for-all (cf. Benczúr and Karger, STOC 1996) and for-each (Andoni et al., ITCS 2016) cut sparsifiers/sketches as a function of cut balance, defined the maximum ratio of the cut value in the two directions of a directed graph (Ene et al., STOC 2016). We also show an interesting application of digraph sparsification via cut balance by using it to give a very short proof of a celebrated maximum flow result of Karger and Levine (STOC 2002).

研究动机与目标

• 为解决标准模型下有向图无法被稀疏化的基本限制，通过引入割平衡作为参数，在无向图与有向图之间进行插值。
• 设计有向图的割草图与稀疏化器，其大小依赖于平衡参数β，而非对不平衡图普遍表现不佳。
• 解决for-all与for-each稀疏化模型下，割草图大小对β的精确依赖关系。
• 证明for-each稀疏化中√β依赖关系的紧致性，并表明for-all稀疏化中线性β依赖关系不可避免，从而反驳了先前的猜想。

提出的方法

• 正式提出并定义β-平衡的概念，即在有向图的所有割中，两个方向割值比值的最大值。
• 通过按√β缩放边采样概率，构建for-each割草图，以高概率实现所有割值的(1±ϵ)-近似。
• 利用分层图结构中的编码比特串，结合二分图边与平衡环，构造下界，证明√β依赖关系的紧致性。
• 证明for-all稀疏化至少需要Ω(nβ/ϵ)比特，表明β的线性依赖关系不可避免，即使在数据结构层面亦如此。
• 利用平衡参数构造仅保留β-平衡割的稀疏化器，实现大小上β倍的额外开销。
• 将该框架应用于Karger与Levine的最大流结果，给出简洁证明，展示其实际应用价值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过割平衡β参数化有向图的割稀疏化，而非对所有有向图一视同仁，从而实现高效稀疏化？
• RQ2 for-each割草图中√β依赖关系是否最优，还是可获得更优界？
• RQ3 for-all稀疏化中线性β依赖关系是否不可避免，或更激进的采样策略可带来更好结果？
• RQ4 平衡参数β能否用于设计仅保留有界不平衡割的精细化稀疏化器？
• RQ5 基于平衡的稀疏化框架是否能开启新应用，如对经典结果的简短证明？

主要发现

• for-each割草图大小为eO(√βn/ϵ)比特，且存在Ω(√βn/√ϵ)比特的匹配下界，证明√β依赖关系是紧致的。
• for-all割草图需要Ω(nβ/ϵ)比特，表明β的线性依赖关系不可避免，反驳了关于改进采样策略的先前猜想。
• 本文构建了一个数据结构，仅以额外β倍的大小开销即可保留所有β-平衡割，且该方法适用于整体不平衡的图。
• 提出一种新颖的下界构造方法，将比特串编码至具有二分图边与环边的分层有向图中，用于证明for-each草图的√β下界。
• 该框架可导出Karger与Levine最大流结果的简洁证明，展示了其在理论边界之外的实际应用价值。
• 该结果不仅适用于图稀疏化器，也适用于任意数据结构（草图），证明这些界具有根本性。