[论文解读] Sparsity and Parallel Acquisition: Optimal Uniform and Nonuniform Recovery Guarantees

Il Yong Chun, Chen Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文为多传感器压缩感知中可压缩信号的均匀与非均匀恢复建立了最优保证，其中传感器使用不同的或相同的测量矩阵，且传感器配置矩阵任意。结果表明，测量数与稀疏度 $ s $ 呈线性关系，且独立于传感器数量 $ C $，可实现最优恢复，尤其在相同采样场景下的稀疏分布式信号模型中表现优异。

ABSTRACT

The problem of multiple sensors simultaneously acquiring measurements of a single object can be found in many applications. In this paper, we present the optimal recovery guarantees for the recovery of compressible signals from multi-sensor measurements using compressed sensing. In the first half of the paper, we present both uniform and nonuniform recovery guarantees for the conventional sparse signal model in a so-called distinct sensing scenario. In the second half, using the so-called sparse and distributed signal model, we present nonuniform recovery guarantees which effectively broaden the class of sensing scenarios for which optimal recovery is possible, including to the so-called identical sampling scenario. To verify our recovery guarantees we provide several numerical results including phase transition curves and numerically-computed bounds.

研究动机与目标

• 为通过多传感器压缩感知获取的可压缩信号建立最优恢复保证。
• 分析多传感器系统中不同与相同采样场景，其中传感器可使用不同的或相同的测量矩阵。
• 将恢复理论扩展至稀疏分布式信号模型，扩大其在相同采样等复杂场景下的适用性。
• 通过相变曲线和数值计算的恢复阈值验证理论边界。
• 证明测量需求与稀疏度 $ s $ 呈线性关系，且独立于传感器数量 $ C $，从而确认并行采集的优势。

提出的方法

• 建立多传感器压缩感知模型 $ y = Ax + e $，其中 $ A $ 为各传感器测量矩阵 $ A_c = \tilde{A}_c H_c $ 的分块矩阵，$ H_c $ 表示传感器配置。
• 引入稀疏分布式信号模型，以在具有挑战性的相同采样场景下实现恢复保证，即所有传感器使用相同的 $ \tilde{A} $。
• 通过相干传感器配置下的受限等距性质（RIP）的概率分析，推导出非均匀与均匀恢复保证。
• 定义传感器配置矩阵 $ V $ 的相干性 $ \mu(V) $，并证明当 $ \mu(V) \lesssim C^{-1} $ 时，可实现不同采样下的最优恢复。
• 引入量 $ \Upsilon_{\text{idt}} $ 以量化相同采样下的恢复性能，表明当 $ D = C $ 时 $ \Upsilon_{\text{idt}} $ 有界，可实现最优恢复。
• 在噪声约束 $ \|Az - y\|_2 \leq \eta $ 下采用基追踪与 $ \ell_1 $-最小化，并利用 $ \sigma_s(x)_1 $（即最佳 $ \ell_1 $-逼近误差）推导恢复误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有任意传感器配置矩阵的多传感器压缩感知建立最优恢复保证？
• RQ2 在所有传感器使用相同测量矩阵的相同采样场景下，稀疏分布式信号模型是否允许实现最优恢复？
• RQ3 传感器配置矩阵需满足何种条件，才能确保每传感器的测量数与稀疏度 $ s $ 呈线性关系，且独立于 $ C $？
• RQ4 传感器配置矩阵的相干性 $ \mu(V) $ 如何影响不同采样情况下的恢复性能？
• RQ5 数值相变曲线能否验证理论恢复边界，特别是在相同采样区域？

主要发现

• 在不同采样场景下，当传感器配置矩阵 $ V $ 具有非相干性（即 $ \mu(V) \lesssim C^{-1} $）时，可实现 $ s $-稀疏向量的最优非均匀恢复，确保测量数与 $ s $ 呈线性关系且独立于 $ C $。
• 为不同采样情况建立了新的统一恢复保证，证明在相同非相干条件下，对所有 $ s $-稀疏信号均具有鲁棒性。
• 在相同采样场景下，当 $ D = C $ 时，在稀疏分布式信号模型下可证明最优非均匀恢复，且 $ \Upsilon_{\text{idt}} $ 随 $ C $ 增大而保持有界。
• 数值结果表明，当 $ D = C $ 时，$ \Upsilon_{\text{idt}} $ 不随 $ C $ 增大而增长，表明每传感器的测量数随 $ C $ 增加而减少，证实了并行采集的优势。
• 在不同与相同采样场景下，循环传感器配置的相变曲线显示，随着 $ C $ 增加，恢复性能提升，与理论预测一致。
• 对于固定 $ r_1 + r_2 $ 的带状传感器配置，在不同与相同采样场景下均可实现最优恢复，验证了理论在实际场景（如具有紧支撑线圈灵敏度的1D pMRI）中的适用性。