[论文解读] Sparsity of postcritically finite maps of $\mathbb{P}^k$ and beyond: A complex analytic approach

Thomas Gauthier, Johan Taflin+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2023

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 4

一句话总结

该论文通过复分析方法，结合动力系统高度、分岔测度与等分布理论，证明了在 $\mathbb{P}^k$（$k \geq 2$）上次数为 $d$ 的自同态空间中，后临界有限（PCF）映射不是齐次稠密的。此外，利用算术动力系统与实动力系统技术，该研究进一步在 $\mathbb{A}^2$ 中正则多项式自同态的齐次开子集上建立了临界集中预周期点数量的统一有界性。

ABSTRACT

An endomorphism $f:\mathbb{P}^k o\mathbb{P}^k$ of degree $d\geq2$ is said to be postcritically finite (or PCF) if its critical set $\mathrm{Crit}(f)$ is preperiodic, i.e. if there are integers $m>n\geq0$ such that $f^m(\mathrm{Crit}(f))\subseteq f^n(\mathrm{Crit}(f))$. When $k\geq2$, it was conjectured by Ingram, Ramadas and Silverman that, in the space $\mathrm{End}_d^k$ of all endomorphisms of degree $d$ of $\mathbb{P}^k$, such endomorphisms are not Zariski dense. We prove this conjecture. Further, in the space $\mathrm{Poly}_d^2$ of all regular polynomial endomorphisms of degree $d\geq2$ of the affine plane $\mathbb{A}^2$, we construct a dense and Zariski open subset where we have a uniform bound on the number of preperiodic points lying in the critical set. The proofs are a combination of the theory of heights in arithmetic dynamics and methods from real dynamics to produce open subsets with maximal bifurcation.

研究动机与目标

• 解决复动力系统中的一个猜想，即后临界有限（PCF）自同态在模空间 $\mathscr{M}_d^k$ 中不是齐次稠密的。
• 在 $\mathbb{A}^2$ 中正则多项式自同态的齐次开子集上，建立临界集中预周期点数量的统一有界性。
• 通过分岔测度与算术动力系统高度之间的联系，利用高度不等式与等分布定理，建立动力系统稳定性的关联。
• 通过模理论与分析技术，将算术动力系统中统一有界性的结果推广至高维动力系统。

提出的方法

• 使用子簇上的规范高度来度量算术-动力复杂性，特别是自同态族中临界集的复杂性。
• 应用动力系统高度与 DSH 函数理论，将规范高度与分岔测度及不稳定性测度联系起来。
• 利用实动力系统与消融器（blenders）的方法，在 $\mathrm{End}_d^k$ 中构造一个齐次开子集，使得分岔测度的支集具有非空内部。
• 利用预周期点关于规范测度的等分布结果，控制临界集中此类点的数量。
• 通过 $\mathscr{M}_d^k$ 与 $\mathscr{P}_d^2$ 上的普遍族并利用高度的自同构不变性，将问题约化至模空间设定。
• 利用受 DeMarco-Krieger-Ye 与 Dimitrov-Gao-Habegger 启发的算术动力系统中的统一有界性，结合高度约束，在临界集中建立有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 后临界有限自同态在 $\mathbb{P}^k$（$k \geq 2$）中是否在模空间 $\mathscr{M}_d^k$ 中齐次稠密？
• RQ2 能否在 $\mathbb{A}^2$ 中正则多项式自同态的临界集中建立预周期点数量的统一有界性？
• RQ3 在 $\mathbb{A}^2$ 中正则多项式自同态的模空间中，分岔测度的支集是否具有非空内部？
• RQ4 如何利用临界集的规范高度来控制临界集中有理预周期点的数量？
• RQ5 自同态与其周期点的特征值之间的对应关系在多大程度上不是有限对一的？

主要发现

• 后临界有限自同态在 $\mathbb{P}^k$（$k \geq 2$）中不是 $\mathscr{M}_d^k$ 的齐次稠密集，证实了文献中的一个猜想。
• 存在一个非空的齐次开子集 $U \subset \mathrm{Poly}_d^2$，使得对所有 $f \in U(\bar{\mathbb{Q}})$，临界集中 $\bar{\mathbb{Q}}$-有理预周期点的数量被一个仅依赖于 $d$ 的常数 $B(d)$ 所控制。
• 对任意 $f \in U(\mathbb{C})$，临界集中复预周期点的数量被一个依赖于基多项式 $p$ 与次数 $d$ 的常数 $B(p,d)$ 所控制。
• 分岔测度的支集在 $\mathscr{M}_d^k$ 与 $\mathscr{P}_d^2$ 中均具有非空内部，表明这些族中存在最大不稳定性。
• 正则多项式自同态在 $\mathscr{P}_d^2$ 中与其周期点特征值之间的对应关系，在一个齐次闭集之外是有限对一的。
• 存在统一的常数 $\varepsilon(p,d) > 0$ 与 $B(p,d) \geq 1$，使得对 $\mathrm{Sk}(p,d)$ 的齐次开子集中的所有 $f$，有 $\#\{z \in C_f(\bar{\mathbb{Q}}) : \widehat{h}_f(z) \leq \varepsilon(p,d)\} \leq B(p,d)$。