[论文解读] Spatial Anisotropy in Nonrelativistic Holography

Joshua W. Foster, James T. Liu|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文研究了非相对论全息中的空间各向异性 Lifshitz 时空，表明零能量条件允许在某些空间方向上出现负的标度指数——导致红外几何中某些维度打开——同时与全息 c-定理保持一致。该研究构建了从紫外到红外固定点的插值流，包括 $c_{\text{IR}} > c_{\text{UV}}$ 的 AdS 到 AdS 流，这得益于中间的洛伦兹对称性破缺区域而成为可能。

ABSTRACT

We examine holographic theories where Lifshitz symmetry is broken with spatial anisotropy. In particular, we focus on the conditions imposed by the null energy condition, and demonstrate that it is possible to have unusual anisotropic fixed points where a subset of the spatial dimensions have negative scaling exponents. We also construct interpolating solutions between UV and IR fixed points and show that there is essentially no restriction placed on the endpoints of the flow once anisotropic scaling is allowed. As an example, we demonstrate a flow from AdS to AdS with $c_{IR}>c_{UV}$ that is allowed by the null energy condition since it proceeds through an intermediate Lorentz-violating region. Finally, we examine the holographic Green's function in anisotropic Lifshitz spacetimes.

研究动机与目标

• 使用零能量条件作为约束，对全息中允许的各向异性 Lifshitz 几何进行分类。
• 研究空间方向上的负标度指数是否与全息一致性条件相容。
• 检查在任意标度指数下，从紫外到红外固定点的插值流是否可能。
• 分析各向异性 Lifshitz 时空中全息格林函数的行为。
• 探索在不违反零能量条件的情况下，$c_{\text{IR}} > c_{\text{UV}}$ 的流是否可能发生，从而挑战相对论性 c-定理。

提出的方法

• 在体材藏中应用零能量条件（NEC），推导出各向异性 Lifshitz 几何中标度指数 $\{z, p_i\}$ 的约束。
• 使用度规假设 $ds^2 = -r^{-2z}dt^2 + \sum_i r^{-2p_i}dx_i^2 + r^{-2}dr^2$ 来建模空间各向异性的标度。
• 构建从紫外到红外固定点的显式插值解，包括 $L_{\text{UV}} < L_{\text{IR}}$ 的 AdS 到 AdS 流。
• 分析各向异性背景中全息格林函数的行为，推导不同动量和频率区域的表达式。
• 分析插值几何中度规函数 $A(r)$ 和 $B(r)$ 的行为，识别出具有 $z_{\text{Lif}} = L_{\text{IR}}/L_{\text{UV}}$ 的中间 Lifshitz 类似区域。
• 与 IIB 超引力中的已知流进行比较，并分析中间洛伦兹对称性破缺区域在实现 $c_{\text{IR}} > c_{\text{UV}}$ 中的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 空间各向异性是否允许在某些空间方向上出现负的标度指数，而不会违反零能量条件？
• RQ2 在零能量条件约束下，各向异性 Lifshitz 时空中标度指数 $\{z, p_i\}$ 的约束是什么？
• RQ3 在满足零能量条件的前提下，是否可能实现从紫外的 AdS 到红外的 AdS 的全息流，且满足 $c_{\text{IR}} > c_{\text{UV}}$？
• RQ4 全息格林函数在各向异性 Lifshitz 时空中的行为如何，特别是在不同动量和频率区域？
• RQ5 中间洛伦兹对称性破缺区域在非相对论全息中实现非单调 $c$-函数行为中起什么作用？

主要发现

• 零能量条件允许在部分空间方向上出现负的标度指数，导致红外几何中这些方向打开。
• 条件 $z \geq \max\{p_i\}$ 将相对论性情形下的 $z \geq 1$ 边界推广到各向异性系统，其中 $p_i \leq z$ 是满足 NEC 所必需的。
• 在满足 NEC 的前提下，任意紫外和红外固定点之间的插值流是可能的，除非标度指数位于参数空间中的特定圆周上。
• 构建了一个显式的 AdS 到 AdS 流，其中 $L_{\text{UV}} = 1$，$L_{\text{IR}} = 4$，表明由于中间存在 $z_{\text{Lif}} = 4$ 的 Lifshitz 区域，$c_{\text{IR}} > c_{\text{UV}}$ 是可能的。
• 全息格林函数表现出根据动量与频率比值从幂律衰减到指数抑制的转变，不同区域中已推导出显式表达式。
• 度规函数 $A(r)$ 和 $B(r)$ 沿流发生发散，其中 $B(r)$ 首先趋近其红外形式，表明存在一个非平凡的中间各向异相。