[论文解读] Spatial populations with seed-bank: well-posedness, duality and equilibrium

Andreas Greven, Franciscus den Hollander+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2020

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models被引用 4

一句话总结

本文通过在可数阿贝尔群上使用相互作用的费雪-恩德斯扩散过程研究具有种子库的空间种群，引入了三种在休眠机制复杂度上逐步提升的模型。研究建立了适定性、对偶性及收敛到平衡态的性质，表明当唤醒时间的数学期望为无穷时，种子库可通过促进共存来维持遗传多样性，即使在重复迁移制度下亦然，从而揭示了超越经典模型的新普适类。

ABSTRACT

We consider a system of interacting Fisher-Wright diffusions with seed-bank. Individuals live in colonies and are subject to resampling and migration as long as they are active. Each colony has a structured seed-bank into which individuals can retreat to become dormant, suspending their resampling and migration until they become active again. As geographic space labelling the colonies we consider a countable Abelian group $\mathbb{G}$ endowed with the discrete topology. The key example of interest is the Euclidean lattice $\mathbb{G}=\mathbb{Z}^d$. Our goal is to classify the long-time behaviour of the system in terms of the underlying model parameters. In particular, we want to understand in what way the seed-bank enhances genetic diversity. We introduce three models of increasing generality, namely, individuals become dormant: (1) in the seed-bank of their colony; (2) in the seed-bank of their colony while adopting a random colour that determines their wake-up time; (3) in the seed-bank of a random colony while adopting a random colour. The extension in (2) allows us to model wake-up times with fat tails while preserving the Markov property of the evolution. For each of the three models we show that the system converges to a unique equilibrium depending on a single density parameter that is determined by the initial state, and exhibits a dichotomy of coexistence (= locally multi-type equilibrium) versus clustering (= locally mono-type equilibrium) depending on the parameters controlling the migration and the seed-bank. The dichotomy between clustering and coexistence in model 1 is determined by migration only. In models (2) and (3), when the wake-up time has infinite mean, the dichotomy is determined by both the exchange with the seed-bank and migration. It turns out that the seed-bank affects the long-time behaviour both quantitatively and qualitatively.

研究动机与目标

• 理解空间种群中种子库如何影响长期的遗传多样性和平衡行为。
• 根据迁移与休眠参数，对具有种子库的相互作用扩散过程的长期行为进行分类。
• 将经典的费雪-恩德斯模型扩展至具有结构化种子库的空间设置，包括随机群体休眠与彩色唤醒时间。
• 通过强解、对偶性与耦合技术，为具有复杂休眠动力学的系统建立数学严谨性。
• 在临界维度下识别新的普适类，其中种子库效应主导迁移效应。

提出的方法

• 在可数阿贝尔群 $\mathbb{G}$ 上构建模型，以 $\mathbb{Z}^d$ 为主要示例，用以表示具有迁移的空间群体。
• 引入三种模型：(1) 个体在自身群体中休眠，(2) 休眠伴随随机颜色决定唤醒时间，(3) 在随机群体中休眠并具有彩色唤醒。
• 在群体规模趋于无穷的极限下，使用连续型随机微分方程描述系统，通过强解的存在性证明了适定性。
• 建立了前向过程与一个对偶分支系统的对偶性，从而能够分析长期行为。
• 使用耦合技术证明了即使在重尾唤醒时间下，系统仍收敛到唯一平衡态。
• 通过双重性允许广义扩散函数，将结果扩展至标准费雪-恩德斯情形之外。

实验结果

研究问题

• RQ1 在包含种子库的空间种群模型中，迁移如何改变共存与聚集之间的二元对立关系？
• RQ2 唤醒时间分布的尾部行为在决定长期遗传多样性方面起什么作用？
• RQ3 在经典模型（无种子库）会表现出聚集的区域（如临界或重复迁移），种子库是否能诱导共存？
• RQ4 迁移与种子库动力学之间的相互作用如何影响多群体系统中的平衡结构？
• RQ5 在何种条件下，种子库会主导迁移，从而决定系统长期行为？

主要发现

• 在模型1中，聚集与共存的二元对立仅取决于迁移：重复迁移导致聚集，瞬时迁移导致共存，与无种子库情形一致。
• 在模型2与3中，当唤醒时间具有无穷期望时，即使在临界重复迁移下，种子库也能诱导共存，而经典模型则会聚集。
• 对于具有足够重尾的无穷期望唤醒时间，种子库决定了二元对立关系，使迁移对长期结果不再具有影响。
• 无论模型复杂度如何，系统均收敛到由初始状态导出的单一密度参数决定的唯一平衡态。
• 对偶性与耦合技术使得结果可推广至标准费雪-恩德斯形式之外的一般扩散函数类。
• 引入种子库在临界维度下引入了新的普适类，尤其当唤醒时间具有重尾时。