[论文解读] SPDEs with Polynomial Growth Coecients and Malliavin Calculus Method

Qi Zhang, Huaizhong Zhao|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文通过倒向双随机微分方程（BDSDEs）建立了具有多项式增长系数的随机偏微分方程（SPDEs）的弱解的概率表示。利用马利万微积分、弱收敛性以及维纳-索博列夫紧致性，证明了L²p(Rd;R¹) × L²(Rd;Rd)-值BDSDE解的存在性与唯一性，并将有限时域BDSDE解向无穷收敛的性质与SPDE解的平稳解的存在性与稳定性联系起来。

ABSTRACT

In this paper we study the existence and uniqueness of theL 2p (R d ;R 1 ) L 2 (R d ;R d ) valued solutions of backward doubly stochastic dierential equations (BDSDEs) with polynomial growth coecients using weak convergence, equivalence of norm principle and Wiener- Sobolev compactness arguments. Then we establish a new probabilistic representation of the weak solutions of SPDEs with polynomial growth coecients through the solutions of the corresponding BDSDEs. This probabilistic representation is then used to prove the existence of stationary solutions of SPDEs on R d via innite horizon BDSDEs. The convergence of the solution of a nite horizon BDSDE, when its terminal time tends to innity, to the solution of the innite horizon BDSDE is shown to be equivalent to the convergence of the pull-back of the solution of corresponding SPDE to its stationary solution. This way we obtain the stability of the stationary solution naturally. i=1 i <1. The coecients f : R d R 1 3 (x;v)7! f(x;v)2 R 1 is a real-valued function of polynomial growth (p 2); g : R d R 1 3 (x;v)7! g(x;v)2

研究动机与目标

• 通过弱收敛性与范数等价性，证明具有多项式增长系数的倒向双随机微分方程（BDSDEs）在L²p(Rd;R¹) × L²(Rd;Rd)空间中解的存在性与唯一性。
• 通过相应BDSDEs的解，建立SPDEs具有多项式增长系数的弱解的新概率表示。
• 通过无限时域BDSDEs的分析，证明R^d上SPDEs平稳解的存在性。
• 证明当终端时间趋于无穷时，有限时域BDSDE解的收敛性等价于SPDE解的反向拉回收敛至其平稳解。
• 通过该等价性，建立SPDEs平稳解的稳定性。

提出的方法

• 运用弱收敛技术分析有限时域BDSDE解的极限行为。
• 利用范数等价性原理控制L²p与L²空间中解的增长。
• 应用维纳-索博列夫紧致性论证，从解空间中提取收敛子列。
• 利用马利万微积分方法处理BDSDE框架中的随机积分与正则性。
• 通过相应BDSDE的解，构建SPDE弱解的概率表示。
• 建立有限时域BDSDE解收敛性与SPDE解收敛至其平稳状态之间等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有多项式增长系数的倒向双随机微分方程（BDSDEs）在L²p(Rd;R¹) × L²(Rd;Rd)空间中存在解？
• RQ2 SPDEs具有多项式增长系数的弱解能否通过BDSDEs的解实现概率表示？
• RQ3 如何利用无限时域BDSDEs证明R^d上SPDEs平稳解的存在性？
• RQ4 当终端时间趋于无穷时，有限时域BDSDE解的收敛性是否等价于SPDE解收敛至其平稳解？
• RQ5 在何种条件下，可通过相关BDSDEs的收敛性确保SPDEs平稳解的稳定性？

主要发现

• 本文通过弱收敛性与范数等价性，证明了具有多项式增长系数的BDSDEs在L²p(Rd;R¹) × L²(Rd;Rd)空间中解的存在性与唯一性。
• 通过相应BDSDEs的解，建立了SPDEs具有多项式增长系数的弱解的新概率表示。
• 通过无限时域BDSDEs的分析，证明了R^d上SPDEs平稳解的存在性。
• 证明了当终端时间趋于无穷时，有限时域BDSDE解的收敛性等价于SPDE解的反向拉回收敛至其平稳解。
• 两种收敛机制之间的等价性意味着SPDE平稳解的自然稳定性。
• 该方法依赖于马利万微积分与维纳-索博列夫紧致性，以确保所需的正则性与收敛性性质。