[论文解读] Special bases for derivations of tensor algebras. I. Cases in a neighborhood and at a point

Bozhidar Z. Iliev|ArXiv.org|Mar 29, 2003

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 2被引用 8

一句话总结

本文建立了在局部基（正交或非正交）中，任意微分流形上张量代数的导子分量在邻域或单点处消失的必要与充分条件。关键结果为：此类基存在当且仅当导子的曲率与挠率满足特定代数约束；引力理论中的等效原理由于线性联络的底层结构，被证明在数学上恒成立。

ABSTRACT

Necessary and sufficient conditions are investigated for the existence of local bases in which the components of derivations of tensor algebras over differentiable manifold vanish in a neighborhood or only at a single point. The problem when these bases are holonomic or anholonomic is considered. Attention is paid to the case of linear connections. Relations of these problems with the equivalence principle are pointed out.

研究动机与目标

• 确定在邻域或某一点处导子分量消失的局部基存在的必要与充分条件。
• 根据曲率与挠率性质，对这类基是正交还是非正交进行分类。
• 阐明基于线性联络的引力理论中等效原理的数学起源。
• 将关于无挠连接的结果推广至张量代数的任意导子。
• 表明等效原理并非物理假定，而是线性联络结构的数学推论。

提出的方法

• 推导导子 $ D_X = L_X + S_X $ 的分量变换律，其中 $ L_X $ 为李导数，$ S_X $ 为类型-(1,1)张量场。
• 将 $ W_X^i{}_j $ 定义为 $ D_X $ 的分量，通过 $ W_X^i{}_j = (S_X)^i{}_j - E_j(X^i) + C^i{}_{kj}X^k $ 给出，其中 $ C^i{}_{jk} $ 来自基向量的对易子。
• 分析 $ W_X^i{}_j $ 在基变换下的行为，表明其服从包含 $ X(A) $ 的仿射变换规则，该规则推广了联络变换规律。
• 定义导子 $ D $ 的曲率 $ R^D(X,Y) $ 与挠率 $ T^D(X,Y) $，推广了线性联络中的相应概念。
• 通过将 $ D_X $ 识别为协变微分（当且仅当 $ W_X^i{}_j = \Gamma^i{}_{jk}X^k $ 时），将形式化应用于线性联络，与标准联络理论建立联系。
• 利用联络分量的对称部分定义无挠联络 $ {}^s\nabla $，从而可应用关于正常坐标的已知结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，存在局部基使得张量代数导子的分量在某一点的邻域内消失？
• RQ2 在何种条件下，此类基在单点处存在，且其为正交或非正交基？
• RQ3 挠率的存在如何影响具有消失分量的正交基的存在性？
• RQ4 基于线性联络的引力理论中，等效原理的数学基础是什么？
• RQ5 等效原理是否可被理解为导子代数结构的数学结果，而非物理假定？

主要发现

• 基于曲率与挠率约束，推导出存在分量消失的局部基的必要与充分条件。
• 对于无挠线性联络，存在局部正交基，使得联络分量在任意给定点处消失，从而证实了正常坐标的存 在。
• 对于具有非零挠率的一般线性联络，不存在使分量在某一点消失的正交基，但可使分量的对称部分在这些基中消失。
• 平坦线性联络（零曲率）允许存在局部正交基，使得分量在邻域内消失，而不仅在某一点处消失。
• 等效原理并非物理原理，而是线性联络结构的数学结果，因为此类基始终存在，其根源在于底层代数约束。
• 该形式化方法可推广至引力以外的物理理论，表明其在任何由线性联络支配的物理理论中均具有适用性。