[论文解读] Special cycles and derivatives of Eisenstein series

Stephen S. Kudla|ArXiv.org|Aug 29, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文提出一个推测性框架，将正交型希尔伯特模形式上的代数周期、Eisenstein 系列的导数以及 Rankin-Selberg L 函数的特殊值联系起来。通过 theta 提升实现了 Rallis 内积公式的几何实现，表明来自 Siegel 模形式的上同调类的 cup 积源于 Eisenstein 系列的拉回，关键恒等式将上同调配对与 L-值及特殊周期的体积联系起来。

ABSTRACT

This article sketches relations among algebraic cycles for the Shimura varieties defined by arithmetic quotients of symmetric domains for O(n,2), theta functions, values and derivatives of Eisenstein series and values and derivatives of certain L-functions. In the geometric case, results of joint work with John Millson imply that the generating functions for the classes in cohomology of certain algebraic cycles of codimension r are Siegel modular forms of genus r and weight n/2+1. A result of Borcherds shows that, for r=1, the same is true for the generating function for the classes of such divisors in the Chow group. By the Siegel-Weil formula, the generating function for the volumes of codimension r cycles coincides with a value of a Siegel-Eisenstein series of genus r. In particular, this gives an interpretation of the Fourier coefficients of these Eisenstein series as volumes of algebraic cycles. The second part of the paper discusses the possible analogues of these results in the arithmetic case, where the special values of derivatives of Eisenstein series arise. In this case, the Fourier coefficients of such derivatives are should be the heights (arithmetic volumes) of certain cycles on integral models of the O(n,2) type Shimura varieties. Relations of this sort would yield relations between central derivatives of certain L-functions and height pairings. The case of curves on a Siegel 3-fold and of the central derivative of a triple product L-function are discussed.

研究动机与目标

• 制定一个广义的推测性框架，将代数周期、Eisenstein 系列导数与 Rankin-Selberg L-函数的特殊值联系起来。
• 以希尔伯特模形式上的上同调类为工具，对 Rallis 内积公式提供几何解释。
• 将与 Siegel 模形式相关的上同调类的 cup 积与 Eisenstein 系列的拉回联系起来。
• 通过 theta 提升与自守形式，将算术内积公式推广至高阶经典群。
• 通过特殊周期与 L-函数的上同调实现，建立算术几何与自守形式之间的桥梁。

提出的方法

• 通过具有正范数的有理向量 x ∈ V(Q) 构造子希尔伯特模形式 Z(x) ⊂ MK 作为特殊周期。
• 利用 Weil 表示与 theta 对应，将 Siegel 模形式与 H^{2r}(MK) 中的上同调类相关联。
• 应用经典 theta 提升，定义从尖点形式 f ∈ S(r)_{n/2+1} 到上同调类 [θr(f,ϕ)] ∈ H^{2r}(MK) 的映射。
• 通过 G’_Q 的作用与挠覆盖，推导向量值 theta 函数的变换律，从而获得经典模形式的变换性质。
• 通过涉及 Eisenstein 系列 E_{2n}(τ, s, ϕ₁⊗ϕ̄₂) 的加倍积分，计算此类上同调类的 cup 积。
• 建立一个推测性恒等式 (A.II.19)，将 cup 积表示为 Eisenstein 系列到 H^{r₁} × H^{r₂} 的拉回。

实验结果

研究问题

• RQ1 正交型希尔伯特模形式上的代数周期与 Eisenstein 系列导数之间有何关系？
• RQ2 Rallis 内积公式在希尔伯特模形式上同调类中的几何意义是什么？
• RQ3 由 Siegel 模形式导出的上同调类的 cup 积能否表示为某个 Eisenstein 系列的拉回？
• RQ4 Rankin-Selberg L-函数的特殊值与特殊周期体积之间的精确关系为何？
• RQ5 theta 提升与经典群上的自守形式如何实现推测性算术内积公式的实现？

主要发现

• 上同调类 [θr(f₁,ϕ₁)] 与 [θr(f₂,ϕ₂)] 的 cup 积由 f₁⊗f̄₂ 与 Eisenstein 系列 E_{2n}(τ, 1/2, ϕ₁⊗ϕ̄₂) 的 Petersson 内积给出，至多相差一个常数 B。
• 当 f₁ 与 f₂ 对应于同一尖点自守表示 π 时，该配对结果为 L(1, π) 乘以 f 的 Petersson 范数，如 (A.II.17) 所示。
• 恒等式 (A.II.19) 将 cup 积表示为 Eisenstein 系列 En(τ, 1/2, ϕ₁⊗ϕ̄₂) 到 H^{r₁} × H^{r₂} 的拉回，从而将上同调与 Eisenstein 系列联系起来。
• 当 V 为非交换时，MK 关于典范 n-形式 Ω^n 的体积满足 vol(MK, Ω^n) · En(τ, 1/2, ϕ) = ∑_{T≥0} vol(Z(T,ϕ)) q^T，如 (A.II.18) 所示。
• 在 (A.II.14) 中的加倍积分通过 [51] 中已知结果简化为标准 L-函数，从而得出 L(1, π) 作为关键因子。
• 推测性恒等式 (6.10) 被推广为 (A.II.19)，表明上同调类的 cup 积可实现为某个 Eisenstein 系列的拉回。