[论文解读] Special Lagrangian Cones

Mark Haskins|ArXiv.org|May 17, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用 27

一句话总结

本文通过 S¹-等变调和映射到 S⁵，构造了 ℂ³ 中具有嵌入环形链的无限多个非同构特殊拉格朗日子锥，证明了此类子锥的存在性及其几何上的相异性。此外，进一步证明了 ℂ³ 中任何具有球面链的特殊拉格朗日子锥必为平面，从而在三维情形下确立了精确的正则性约束。

ABSTRACT

We study special Lagrangian cones in $\C^n$ with isolated singularities. Our main result constructs an infinite family of special Lagrangian cones in $\C^3$ each of which has a toroidal link. We obtain a detailed geometric description of these tori. We prove a regularity result for special Lagrangian cones in $\C^3$ with a spherical link -- any such cone must be a plane. We also construct a one-parameter family of asymptotically conical special Lagrangian submanifolds from any special Lagrangian cone.

研究动机与目标

• 构造 ℂ³ 中具有孤立奇点和非平凡链的新例子。
• 理解 ℂ³ 中特殊拉格朗日子锥的几何与拓扑约束，特别是其链的性质。
• 为具有球面链的特殊拉格朗日子锥建立精确的正则性结果。
• 探索 S⁵ 中特殊 Legendre 子流形与 ℂ³ 中特殊拉格朗日子锥之间的对应关系。
• 通过单参数族构造，从给定的子锥生成渐近锥形的特殊拉格朗日子流形。

提出的方法

• 引入 S²ⁿ⁻¹(1) 中 θ-特殊 Legendre 子流形的概念，通过其链分类 ℂⁿ 中的 θ-特殊拉格朗日子锥。
• 利用从 ℝ² 到 SU(3) 的 S¹-等变调和映射，在 S⁵ 中构造特殊 Legendre 浸入的二维参数族。
• 借助 C. Neumann 系统作为有限维可积系统，生成具有守恒量的解。
• 分析调和映射的周期性条件，以确定其何时下降为 S⁵ 中的极小 Legendre 环面。
• 应用显式的椭圆函数恒等式（cn, sn, dn）验证所得环面的双重周期性与嵌入性。
• 从每个子锥构造一个单参数族的渐近锥形特殊拉格朗日子流形，其具有两个锥形端，分别对应于链及其绕 e^{iπ/3} 的旋转。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 ℂ³ 中构造出无限多个非同构的具有环形链的特殊拉格朗日子锥？
• RQ2 特殊拉格朗日子锥在 ℂ³ 中的链具有何种拓扑与几何约束？
• RQ3 是否存在非平面的、具有球面链的特殊拉格朗日子锥？
• RQ4 何种条件可确保 S⁵ 中的特殊 Legendre 浸入为双重周期性并生成嵌入环面？
• RQ5 特殊拉格朗日子锥与其他校准几何（如关联、共关联及 Cayley 子锥）之间有何关系？

主要发现

• 在 ℂ³ 中存在无限多个非同构的特殊拉格朗日子锥，每个均具有在 SU(3) 的 S¹ 子群作用下不变的嵌入环形链。
• 任何具有球面链（可能为浸入）的 ℂ³ 特殊拉格朗日子锥必为平面，从而证明了精确的正则性结果。
• 当 α ∈ ℚ ∩ (0,1] 且 J = 0 时，浸入 u₀,α 为双重周期性，并生成 S⁵ 中的嵌入极小 Legendre 环面。
• 对于 J ∈ (0, 1/(3√3)) 的一个余稠密子集，浸入 u_J,₀ 为双重周期性，并生成嵌入极小 Legendre 环面。
• 所构造的 Legendre 环面的高斯曲率可使其绝对值任意小，表明非平坦的极小 Legendre 环面可实现 ε-压扁。
• 从每个子锥构造出一个单参数族的渐近锥形特殊拉格朗日子流形，其具有两个锥形端，分别对应于链及其绕 e^{iπ/3} 的旋转。