[论文解读] Special Lagrangian submanifolds and Algebraic complexity one Torus Actions

Edward Goldstein|ArXiv.org|Mar 30, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文在紧致代数流形上具有 (n−1)-环面作用的非紧致 Calabi-Yau 流形上构造了特殊拉格朗日子丛，这些流形是紧致代数流形中除去除子后的结果。通过利用 canonical bundle 的亚纯截面和不变凯勒度量，证明了在补集 $M' = M - D$ 上存在特殊拉格朗日子丛，并表明这些子丛可在附近 Calabi-Yau 超曲面（包括 $𝕁^4$ 中的五次超曲面和 $G(2,4)$ 中的 Calabi-Yau 超曲面）上通过微小形变保持为特殊拉格朗日子丛，前提是满足温和的拓扑与几何条件。

ABSTRACT

In the first part of this paper we consider compact algebraic manifolds M^2n with an algebraic (n-1)-Torus action. We show that there is a T-invariant meromorphic section $σ$ of the canonical bundle of M. Any such $σ$ defines a divisor D. On the complement M'=M-D we have a trivialization of the canonical bundle and a T-action. If the first cohomology of M' vanishes, then results of [2] imply that there is a Special Lagrangian (SLag) fibration on M'. We study how the fibers compactify in M and give examples of SLag fibrations on M', including some cases there the first cohomology of M' doesn't vanish. In the second part of the paper we study Calabi-Yau hypersurfaces in M. We assume that $σ$ is an inverse of a holomorphic section $η$ of the anti-canonical bundle of M. We will see that under certain assumptions one can choose a holomorphic volume form on the smooth part D' of the divisor D s.t. orbits of the T-action give a SLag fibration on D' with respect to the metric, induced from M. Transversal sections $η_j$ near $η$ define smooth Calabi-Yau hypersurfaces D_j in M. We will show that one can deform the SLag fibration on D' to SLag fibrations on large parts of D_j. This construction applies for instance for D_j being quintics in CP^4 or Calabi-Yau hypersurfaces in the Grassmanian G(2,4).

研究动机与目标

• 将利用环面作用构造非紧致 Calabi-Yau 流形上特殊拉格朗日子丛的方法进行推广。
• 研究当补集 $M' = M - D$ 满足 $H^1(M',\mathbb{R}) = 0$ 时，此类特殊拉格朗日子丛的纤维在全空间紧致代数流形 $M$ 中的紧化方式。
• 通过将特殊拉格朗日子丛从除子 $D'$ 的光滑部分形变到附近光滑超曲面 $D_j$，将构造推广至 $M$ 中的 Calabi-Yau 超曲面。
• 在具体例子中演示该方法，包括 $𝕁^4$ 中的五次超曲面和 Grassmannian $G(2,4)$ 中的 Calabi-Yau 超曲面。
• 通过更高复杂度的环面作用，将该框架推广至完全交 Calabi-Yau 子流形。

提出的方法

• 在具有 $(n-1)$-环面作用的紧致代数 $2n$-流形 $M$ 上，构造 canonical bundle $K_M$ 的 $T$-不变亚纯截面 $\sigma$。
• 利用 $\sigma$ 定义一个除子 $D$，使得补集 $M' = M - D$ 拥有平凡 canonical bundle，并继承了 $T$-作用。
• 应用文献 [2] 的结果，在 $H^1(M',\mathbb{R}) = 0$ 的条件下，通过 $T$-不变凯勒形式推导出 $M'$ 上存在特殊拉格朗日子丛。
• 对于由横截截面 $\eta_j$ 定义的 Calabi-Yau 超曲面 $D_j$，其收敛于 $T$-不变截面 $\eta$，将 $D'$ 上的特殊拉格朗日子丛形变至 $D_j$ 上靠近紧致 $T$-不变子集的部分。
• 利用势函数映射技术与同伦不变性，证明纤维结构在形变下保持不变。
• 通过反canonical bundle 的分解与 $T$-不变截面，将构造推广至 $𝕁^5$ 中的完全交 Calabi-Yau 子流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 $(n-1)$-环面作用的紧致代数流形中，若除子 $D$ 由 canonical bundle 的亚纯截面导出，则能否在补集 $M' = M - D$ 上构造特殊拉格朗日子丛？
• RQ2 此类特殊拉格朗日子丛在 $M'$ 上的纤维在全空间流形 $M$ 中如何紧化？
• RQ3 能否将 $D$ 的光滑部分 $D'$ 上的特殊拉格朗日子丛形变为附近光滑 Calabi-Yau 超曲面 $D_j$ 上的特殊拉格朗日子丛？
• RQ4 该构造是否适用于具体例子，如 $𝕁^4$ 中的五次超曲面和 $G(2,4)$ 中的 Calabi-Yau 超曲面？
• RQ5 该方法能否通过更高复杂度的环面作用推广至完全交 Calabi-Yau 子流形？

主要发现

• 对于具有 $(n-1)$-环面作用的紧致代数流形 $M$，存在 canonical bundle 的 $T$-不变亚纯截面 $\sigma$，其定义一个除子 $D$，使得 $M' = M - D$ 拥有平凡 canonical bundle。
• 当 $H^1(M',\mathbb{R}) = 0$ 时，$M'$ 在任意 $T$-不变凯勒形式下均携带特殊拉格朗日子丛。
• 对于由收敛于 $T$-不变截面 $\eta$ 的截面 $\eta_j$ 定义的 Calabi-Yau 超曲面 $D_j$，$D'$ 上的特殊拉格朗日子丛可形变至 $D_j$ 的大部分区域。
• 该构造适用于 $𝕁^4$ 中的五次超曲面和 Grassmannian $G(2,4)$ 中的 Calabi-Yau 超曲面，且在这些超曲面的大部分子集上存在特殊拉格朗日子丛。
• 该方法可推广至 $𝕁^5$ 中的完全交 Calabi-Yau 子流形（如两个三次超曲面的交），通过反canonical bundle 的分解与 $T$-不变截面实现。
• 在所有情况下，$D_j$ 上纤维的同伦类与 $D'$ 上的纤维代表相同的同调类，确保了形变下纤维结构的拓扑一致性。