[论文解读] Special Lagrangians of cohomogeneity one in the resolved conifold

Marianty Ionel, Maung Min-Oo|ArXiv.org|Jun 16, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文利用T²与SO(3)对称性，在解析化的锥面（一个Calabi-Yau 3-流形）中构造了共轨度一的特殊拉格朗日子流形。证明了解析化的锥面允许由T²×ℝ特殊拉格朗日子流形构成的叶状结构，以及一个拓扑上为S²×ℝ的SO(3)-不变族，二者在锥面极限下均渐近趋近于相同的特殊拉格朗日子锥，与先前在形变锥面中所得结果相一致。

ABSTRACT

In this paper, which is a natural continuation of our previous paper math.DG/0504557, we describe some special Lagrangians of cohomogeneity one in the resolved conifold. Our main result gives a foliation of the resolved conifold by T^2-invariant special Lagrangians, where the generic leaf is topologically T^2 X R. We also obtain a family of SO(3)-invariant special Lagrangians. These special Lagrangian families in both the deformed and the resolved conifold approach asymptotically the same special Lagrangian cones in the conifold.

研究动机与目标

• 将共轨度一特殊拉格朗日子流形的分类从形变锥面扩展至解析化锥面。
• 在解析化锥面中，构造在T²与SO(3)作用下不变的特殊拉格朗日子流形的显式族。
• 分析这些特殊拉格朗日子流形的渐近行为，并与奇异锥面极限下的特殊拉格朗日子锥进行比较。
• 确立解析化锥面中T²与SO(3)不变族在锥面极限下趋近于与形变锥面中对应族相同的特殊拉格朗日子锥。

提出的方法

• 将解析化锥面视为ℂP¹上的canonical bundle的全空间，作为Calabi-Yau 3-流形，其全纯体积形式由局部坐标导出。
• 应用SO(3)作用的矩映射形式，识别零水平集中的轨道，确保拉格朗日条件ω|L ≡ 0成立。
• 通过分析局部坐标(U, Y, V)中全纯体积形式，并计算其在切向量上的收缩，施加特殊拉格朗日条件Im(Ω)|L ≡ 0。
• 求解所得微分条件Re(Y²) = c，得到复Y平面上的一族双曲线，参数化特殊拉格朗日子流形的叶。
• 通过对称性轨道与参数依赖性分析结果的拓扑结构，表明其为T²×ℝ与S²×ℝ结构。
• 将所构造族的渐近行为与锥面中的特殊拉格朗日子锥进行比较，确认其极限几何完全一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用T²与SO(3)对称性在解析化锥面中构造共轨度一的特殊拉格朗日子流形？
• RQ2 在这些对称性下，解析化锥面中特殊拉格朗日子流形叶的拓扑与几何结构为何？
• RQ3 这些特殊拉格朗日子流形的渐近行为与形变锥面及奇异锥面中的行为相比如何？
• RQ4 解析化锥面中SO(3)-不变的特殊拉格朗日子流形是否趋近于与形变锥面中相同的特殊拉格朗日子锥？

主要发现

• 解析化锥面允许由T²-不变特殊拉格朗日子流形构成的叶状结构，其一般叶微分同胚于T²×ℝ。
• 构造了一个SO(3)-不变的特殊拉格朗日子流形族，每个叶微分同胚于S²×ℝ，由Re(Y²) = c中的实常数c参数化。
• SO(3)-不变的特殊拉格朗日子流形在锥面极限下渐近趋近于与先前工作中形变锥面中SO(3)-不变族相同的特殊拉格朗日子锥。
• 解析化锥面中T²-不变的特殊拉格朗日子流形渐近趋近于与形变锥面中对应族相同的锥形特殊拉格朗日子流形。
• 该构造证实，解析化锥面中T²与SO(3)-不变族在锥面极限下趋近于相同的极限锥形几何。
• 特殊拉格朗日子流形不与零截面（即b扎特）S²相交，因为|Y|²在SO(3)作用下保持不变。