[论文解读] Special Orthogonal Group SO(3), Euler Angles, Angle-axis, Rodriguez Vector and Unit-Quaternion: Overview, Mapping and Challenges

Hashim A. Hashim|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2019

Aerospace Engineering and Control Systems被引用 27

一句话总结

本文全面概述了在三维空间中使用SO(3)、欧拉角、轴角、罗德里格斯向量和单位四元数参数化表示姿态的方法。文章详细描述了这些表示之间的映射关系，推导了关键的动力学与误差模型，并识别出诸如欧拉角中的奇异性以及单位四元数中非唯一性等关键挑战，为航空航天与机器人应用中的鲁棒滤波与控制设计提供了必要工具。

ABSTRACT

The attitude of a rigid-body in the three dimensional space has a unique and global definition on the Special Orthogonal Group SO (3). This paper gives an overview of the rotation matrix, attitude kinematics and parameterization. The four most frequently used methods of attitude representations are discussed with detailed derivations, namely Euler angles, angle-axis parameterization, Rodriguez vector, and unit-quaternion. The mapping from one representation to others including SO (3) is given. Also, important results which could be useful for the process of filter and/or control design are given. The main weaknesses of attitude parameterization using Euler angles, angle-axis parameterization, Rodriguez vector, and unit-quaternion are illustrated. Keywords: Special Orthogonal Group 3, Euler angles, Angle-axis, Rodriguez Vector, Unit-quaternion, SO(3), Mapping, Parameterization, Attitude, Control, Filter, Observer, Estimator, Rotation, Rotational matrix, Transformation matrix, Orientation, Transformation, Roll, Pitch, Yaw, Quad-rotor, Unmanned aerial vehicle, Robot, spacecraft, satellite, UAV, Underwater vehicle, autonomous, system, Pose, literature review, survey, overview, comparison, comparative study, body frame, identity, origin, dynamics, kinematics, Lie group, inertial frame, zero, filter, control, estimate, observation, measurement, 3D, three dimensional space, advantage, disadvantage.

研究动机与目标

• 提供对三维空间中最常见姿态参数化方法（包括SO(3)、欧拉角、轴角、罗德里格斯向量和单位四元数）的统一概述。
• 推导并展示所有主要姿态表示之间的显式映射关系，实现不同参数化之间的无缝转换。
• 识别并分析每种参数化方法的根本局限与挑战（如奇异性与非唯一性）。
• 通过推导姿态误差动力学、测量模型及更新律，支持鲁棒滤波与控制设计。

提出的方法

• 利用正交变换和罗德里格斯公式，推导从SO(3)到每种参数化的旋转矩阵映射。
• 利用三角恒等式与向量恒等式，建立欧拉角、轴角、罗德里格斯向量与单位四元数之间的正向与反向映射。
• 基于四元数乘法与向量叉积，推导单位四元数姿态的连续时间与离散时间动力学模型，并建立传感器测量模型。
• 通过对数映射与切空间投影，以罗德里格斯向量和单位四元数形式定义姿态误差动力学。
• 应用v形算子与反对称矩阵表示，将旋转矩阵转换为角速度与误差状态。
• 利用SO(3)上的归一化欧几里得距离定义姿态误差度量，该度量对旋转群结构保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 不同姿态参数化方法（欧拉角、轴角、罗德里格斯向量、单位四元数）如何与SO(3)相互映射，以及彼此之间如何转换？
• RQ2 每种参数化方法中姿态演化的动态方程是什么，特别是单位四元数与罗德里格斯向量的动态方程？
• RQ3 每种表示方法中固有的奇异性与非唯一性问题是什么，它们如何影响估计与控制系统？
• RQ4 如何在不同参数化之间一致地定义姿态误差与误差动力学，以用于观测器与滤波器设计？
• RQ5 这些映射关系与局限性的实际影响在实时控制与估计应用中是什么？

主要发现

• SO(3)上的旋转矩阵表示提供了唯一、全局且无奇异性的三维方向描述，而欧拉角与罗德里格斯向量则不具备这一特性。
• 欧拉角在特定构型下（如俯仰角 = ±90°）会出现万向节锁死现象，导致失去一个自由度。
• 罗德里格斯向量与轴角参数化在旋转角度为0°与180°时出现奇异性，这是由于反向映射中出现除零问题。
• 单位四元数避免了奇异性，但存在非唯一性问题，因为q与-q表示相同的旋转，这使得估计中的误差收敛变得复杂。
• 从单位四元数到罗德里格斯向量的映射为ρ = q/q₀（其中q₀ ≠ 0），而其反向映射需通过归一化处理以避免奇异性。
• 单位四元数的更新律通过连续时间动力学dQ/dt = (1/2)Q ⊗ ω推导得出，其中ω为角速度向量，该形式可在滤波器中实现稳定积分。