[论文解读] Special Relativity in Reduced Power Algebras

Elemér E Rosinger|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2009

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 10被引用 22

一句话总结

本文通过使用来自约化幂代数的标量而非实数来重构洛伦兹坐标变换，将狭义相对论进行扩展。通过用包含无穷小量和无穷大量数的非阿基米德代数替代实数域 ℝ，该框架自然地解决了物理学中的无穷大问题，并允许存在多维时间，为相对论物理提供了新颖的代数基础，可能对量子引力和多重宇宙产生影响。

ABSTRACT

Recently, [10,11], the Heisenberg Uncertainty relation and the No-Cloning property in Quantum Mechanics and Quantum Computation, respectively, have been extended to versions of Quantum Mechanics and Quantum Computation which are re-formulated using scalars in {\it reduced power algebras}, [2-9], instead of the usual real or complex scalars. Here, the Lorentz coordinate transformations, fundamental in Special Relativity, are extended to versions of Special Relativity that are similarly re-formulated in terms of scalars in reduced power algebras, instead of the usual real or complex scalars. The interest in such re-formulations of basic theories of Physics are due to a number of important reasons, [2-11]. Suffice to mention two of them : the difficult problem of so called "infinities in Physics" falls easily aside due to the presence of infinitesimal and infinitely large scalars in such reduced power algebras, and the issue of fundamental constants in physics, like Planck's $h$, or the velocity of light $c$, comes under a new focus which offers rather surprising alternatives.

研究动机与目标

• 通过使用约化幂代数而非实数来重构狭义相对论，以在物理学中引入新的数学结构。
• 通过利用约化幂代数中固有的无穷小量和极大标量，解决物理学中‘无穷大问题’的长期困扰。
• 探讨在物理理论中放松阿基米德公理的后果，特别是在洛伦兹变换的语境下。
• 研究当坐标和标量定义在非阿基米德代数上时，相对性原理和光速不变原理如何得以保持。
• 在相对论变换的语境下，考察约化幂代数的代数结构，特别是零因子和不可逆元素的存在。

提出的方法

• 用从集合 Λ 到 ℝ 的函数的等价类模滤子 𝔽 构造的约化幂代数 𝔸_F 取代实数域 ℝ。
• 通过在代数 𝔸_F 中保持加法、乘法和平方等代数运算，适应洛伦兹变换的标准推导。
• 通过分析可逆元（单位）和零因子，处理 𝔸_F 中的除法和平方根运算，利用滤子性质判断元素是否非零且可逆。
• 使用条件 (x)_F ≠ 0 当且仅当 Z(x) ∉ 𝔽 且 ΛackslashZ(x) ∈ 𝔽 来定义单位；使用 (x)_F ≠ 0, (y)_F ≠ 0, (x)_F(y)_F = 0 来定义零因子。
• 在新代数中应用标准的相对论性洛伦兹变换推导（1.13）和（1.19），表明当运算定义良好时，相同的代数形式依然成立。
• 通过指出 𝔸_F 不一定是单维或全序的，特别是当 𝔽 不是超滤子时，引入多维时间与空间的概念。

实验结果

研究问题

• RQ1 洛伦兹坐标变换能否在约化幂代数中一致地扩展，同时保持其物理意义？
• RQ2 约化幂代数的代数性质——如零因子和非阿基米德标量——如何影响洛伦兹变换的推导与有效性？
• RQ3 当时间和空间坐标被建模为非阿基米德代数时，会引发何种物理后果，特别是关于时间的多维性？
• RQ4 用非阿基米德代数如 𝔸_F 取代阿基米德域 ℝ，如何解决相对论物理中的无穷大问题？
• RQ5 在基于约化幂代数的框架中，相对性原理和光速不变原理以何种方式保持有效？

主要发现

• 只要除法和平方根有定义，即对于可逆元，标准洛伦兹变换（1.13）和（1.19）可以扩展到约化幂代数 𝔸_F。
• 当代数运算定义良好时，洛伦兹因子 γ = 1 / √(1 - v²/c²) 的推导在 𝔸_F 中依然有效，从而保持了相对论结构。
• 约化幂代数包含无穷小和无穷大的标量，通过将发散项替换为有定义的代数实体，自然地解决了物理学中的无穷大问题。
• 当滤子 𝔽 不是超滤子时，代数 𝔸_F 包含零因子且不是域，导致时间与空间的多维性成为可能，因为 𝔸_F 不是线性有序的。
• 𝔸_F 中可逆元的集合由 (x)_F ∈ 𝔸_F^u 当且仅当 Z(x) ∉ 𝔽 且 ΛackslashZ(x) ∈ 𝔽 来刻画，确保仅对这些元素定义了除法。
• 该框架允许推测性解释，例如通过非超滤子代数中时间的多维性来建模多重宇宙。