[论文解读] Special values of adjoint L-functions and congruences for automorphic forms on GL(n) over a number field

Baskar Balasubramanyam, A. Raghuram|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文建立了数域 $ F $ 上 $ \mathrm{GL}_n $ 上的余上同调 cuspidal 自守表示 $ \pi $ 的伴随 L 函数 $ L(1, \mathrm{Ad}^0, \pi, \varepsilon) $ 特殊值的整性结果，并证明了除有限个例外素数外，整除该代数部分的素数为同余素数——即它们对应于同 level 与同权的自守形式之间的同余关系。结果将 Hida 和 Ribet 的经典定理推广至更高秩的 $ \mathrm{GL}_n $，采用余上同调方法与 Whittaker 周期。

ABSTRACT

We prove an integrality result for the value at s=1 of the adjoint L-function associated to a cohomological cuspidal automorphic representation on GL(n) over any number field. We then show that primes (outside an exceptional set) dividing this special value give rise to congruences between automorphic forms. We also prove a non-vanishing property at infinity for the relevant Rankin-Selberg L-functions on GL(n) x GL(n).

研究动机与目标

• 将 $ \mathrm{GL}_2 $ 上的经典同余定理推广至任意数域上的 $ \mathrm{GL}_n $。
• 建立与余上同调 cuspidal 自守表示 $ \pi $ 相关的伴随 L 函数特殊值 $ L(1, \mathrm{Ad}^0, \pi, \varepsilon) $ 的整性结果。
• 证明除有限集外，整除该特殊值的素数（即同余素数）对应于同 level 与同权的自守形式之间的同余关系。
• 通过 Betti–Whittaker 周期与有理余上同调类，提供伴随 L 函数代数部分的余上同调解释。

提出的方法

• 使用 Rankin–Selberg 积分将 $ L(1, \mathrm{Ad}^0, \pi) $ 表示为 $ L(s, \pi \times \tilde{\pi}) $ 的极留数，将其与 Petersson 内积联系起来。
• 在局部对称空间 $ S^{G}_{K_f} $ 的余上同调中应用 Poincaré 对偶性，以代数方式描述 L 值。
• 通过 Whittaker 模型上 $ \mathbb{Q}(\pi) $-结构与余上同调实现之间的比较，构造 Betti–Whittaker 周期。
• 使用 Casselman–Wallach 表示与导出函子分析余上同调配对及余上同调类的非零性。
• 改编 Sun 的非零性结果，以确保 archimedean 周期非零，这对整性定理至关重要。
• 计算余上同调模的判别式，将代数 L 值与同余模关联，并通过 $ p $-进赋值控制同余关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hida 与 Ribet 在 $ \mathrm{GL}_2 $ 上的经典同余定理能否推广至任意数域上的 $ \mathrm{GL}_n $？
• RQ2 特殊值 $ L(1, \mathrm{Ad}^0, \pi, \varepsilon) $ 的代数部分是否为整数？能否用余上同调不变量表示？
• RQ3 除有限集外，整除该代数 L 值的素数是否对应于同 level 与同权的自守形式之间的同余关系？
• RQ4 Betti–Whittaker 周期在 $ \mathrm{GL}_n $ 算术中将自守周期与余上同调周期关联起来的作用是什么？
• RQ5 如何确保 archimedean 周期的非零性，以使整性结果具有有效性？

主要发现

• 根据定理 3.3.7，代数部分 $ L^{\mathrm{alg}}(1, \mathrm{Ad}^0, \pi, \varepsilon) $ 在已知算术因子意义下为整数。
• 通过非零性结果（命题 3.3.4）确立了 archimedean 周期 $ \mathfrak{p}_{\infty}(\pi) $ 的非零性，推广了 Sun 的工作。
• 根据定理 4.3.1，除有限个例外素数外，若素数 $ p $ 整除 $ L^{\mathrm{alg}}(1, \mathrm{Ad}^0, \pi, \varepsilon) $，则存在 $ \pi $ 与另一自守形式 $ \pi' $ 之间的同余关系。
• 同余模由余上同调模的判别式控制，且同余素数恰好是整除代数 L 值的素数（模例外素数）。
• Betti–Whittaker 周期 $ \mathfrak{p}^\varepsilon(\pi) $ 与 $ \mathfrak{q}^{\tilde{\varepsilon}}(\tilde{\pi}) $ 在 $ \mathbb{Q}(\pi) $ 上有理，其比值出现在代数 L 值中。
• 在度数 $ b+t $ 的余上同调配对非零且与 $ \varepsilon $ 无关，确保了上同调中全局周期类的非零性。